孿生素數猜想——是否存在無窮多個素數p使得p + 2是素數?

2020-12-03 老胡說科學

孿生素數猜想指出：

孿生素數有無窮多個

孿生素數是一個與另一個素數相差2的素數。一組相差2的兩個素數稱為孿生素數對。前幾對孿生素數對是：

(3、5)、(5、7)、(11、13)、(17、19)、(29、31)、(41、43)、(59,61)、(71、73)、(101、103)、(107、109)、(137、139)…

素數對(2,3)不被認為是孿生素數對，因為它們相差是1而不是2。

起源

雖然歐幾裡得公元前300年證明有無窮多個素數，是否有無限多的孿生素數直到1849年才被證明，法國數學家波林那克(1826 - 1863)猜想每一個自然數k，存在無窮多的素數p，使得p + 2k也是素數。孿生素數猜想是k=1的特殊情況。

接下來，在1912年的國際數學家大會上，埃德蒙·蘭道(1877-1938)將孿生素數猜想列入了數論中與素數相關的一系列開放問題之中，這些問題現在被稱為蘭道問題。他列出的其他三個問題是：

哥德巴赫猜想：所有大於2的整數都可以寫成兩個素數的和嗎？勒讓德猜想：連續的完全平方數之間是否總是存在至少一個素數？有無窮多個素數的形式為n+ 1 ？哈代-李特爾伍德猜想(1923年)

後來，哈代(1877-1947)和李特爾伍德(1885-1977)也提出了一個類似但更嚴格的孿生素數猜想。它被稱為哈代-李特爾伍德猜想，它與素星座（prime constellations）有關。

2013年，張一坦(1955-)證明了對於某個整數n > 70,000,000，存在無窮多對相差n的素數，即存在無窮多對相差小於70,000,000的素數。

在張發表聲明的一年內，在陶泰倫斯(1975-)努力的下將7000萬縮小到到了246。換句話說，我們知道有無窮多個質數的差值小於246。

孿生素數功能

除素數2和3外，每一個素數都可以由函數f(n) = 6n +/- 1生成，包括孿生素數。為了說明孿生素數產生的其中一種模式，首先考慮下面的函數|6n+1|的圖形：

函數| 6n + 1 |（有絕對值符號，不知道能不能顯示出來）接下來考慮函數

對於不同的m值，該函數生成與函數|6n+1|相交的線性圖。對於第一對孿生素數對(3,5)：

函數|6n+1|(紅色)與函數(3/2)n + 4(藍色)一起標繪對於第二個孿生素數對(5,7)：

函數| 6n + 1 | （紅色）繪製在函數3/2 xn + 4旁邊，函數n + 6（藍色）..以及我們上面列表中的所有孿生素數對：

函數|6n+1|(紅色)與函數(n/m)+6m，m值在3/2到23之間每一對孿生素數函數的m值是由每一對素數之間的偶數除以6得到的。因此，對於上面的孿生素數列表：

(3,5)、 (5,7)、 (11,13)、(17,19)、 (29,31)、(41,43)、 (59,61)、(71,73)、 (101, 103)、 (107, 109)、 (137, 139) ...

得到了

4, 6, 12, 18, 30, 42, 60, 72, 102, 108, 138...

用作6的除數，產生

m = 3/2, 1, 2, 3, 5, 7, 10, 12, 17, 19, 23, ...

這兩個孿生素數函數一起構成了一個交叉圖網，將一維數軸轉換成二維平面:

前十個雙素函數的幾個交叉點n值越大，這種模式就越容易識別。從n = 0到n = 14000，前20個孿生素數函數如下圖所示：

前20個孿生素數函數當我們進一步向數軸(y)移動時，我們可以清楚地看到孿生素數對之間存在的巨大差距，例如孿生素數對(659、661)和(809,811)、(881、883)和(1019、1021)之間的差距，等等。

這個模式會無限延伸嗎？也許會，也許不會！

迄今為止(2020年)發現的最大的孿生素數是：

相關焦點

  • 孿生素數猜想
    素數（也稱質數）是只能被1和自身整除的數，如2、3、5、7等等。公元前300多年，古希臘數學家歐幾裡得在其經典著作《幾何原本》中用反證法證明了素數有無窮多個。圍繞著素數存在許多著名的問題，孿生素數，也稱「雙生素數」或「雙胞胎素數」，就是其中的一個。
  • 素數大猜想(1)孿生素數猜想
    5月22日，老牌英國報紙《衛報》刊登文章，文章的標題是：鮮為人知的教授在折磨了數世紀數學精英的大問題上邁進了一大步。印度主流報紙把作出這一非凡貢獻的人，與印度歷史上最偉大的天才數學家拉馬努金相媲美。這位作出重大數學突破的就是張益唐，由於對數學界最著名的猜想之一孿生素數猜想的破冰性工作，使他從默默無聞的大學講師躋身於世界重量級數學家的行列。
  • 張益唐與孿生素數
    軸線開始時有許多紅色的數字：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、41、43和47，它們都是小於50的素數。在1-100之間有25個素數，1到1000之間有168個素數，1到100萬之間有78498個素數。素數越來越大時，它們變得越來越稀少，素數與素數間的平均距離越來越大。那麼，相鄰兩個素數之間的距離是否是有限的呢？
  • 華人數學家張益唐證明「弱孿生素數猜想」
    公元前300多年，古希臘數學家歐幾裡得在其經典著作《幾何原本》中用反證法證明了素數有無窮多個。圍繞素數存在很多的數學問題，較為著名的有梅森素數、費馬素數、孿生素數等，它們吸引著眾多的數學家孜孜以求地鑽研;其中孿生素數(也稱雙生素數)是指一對素數，它們之間相差2，如3和5、5和7、11和13、17和19等等都是孿生素數。
  • 170歲「高齡」了 孿生素數猜想還未得到證明
    素數對的間距為4，則兩個素數被稱為堂表素數對， 間距為6的兩個素數被稱為性感素數對，而中間沒有其他素數的兩個素數則稱為相鄰素數對。隨著數的變大，可以觀察到的孿生素數越來越稀疏，會不會有一天再也找不到新的孿生素數對呢？有數學家猜想，存在無窮多個素數p，使得p與p+2同為素數。這就是孿生素數猜想。孿生素數被認為是數論史上的經典難題，也是諸多著名數學猜想之一。
  • 希爾伯特第八問題有望終結: 孿生素數猜想獲證!
    雖然給定差值不構成無窮素數數列，數列是以數對間隔來延申後繼數對的，而數組是以非數對間隔來延申後繼數對的，但素數間隔為定值的數對會無窮出現在非等差延申的數組中，當 n=1 時，素數存在無窮組的解滿足方程p-q=2n，此為強孿生素數猜想，當n取大於1的任意一個確定整數時，素數p和q都有無窮組解。
  • 素數王國探秘
    我們把相差為2的兩個素數稱為孿生素數，例如3和5 、5和7、11和13、…、10016957和10016959等等都是孿生素數，100以內有8對孿生素數，501-600之間只有兩對。迄今為止（2020年）發現的最大的孿生素數是：那麼會不會有一天再也找不到新的孿生素數呢？
  • 素數的性質與宇宙時空的關係
    素數與元會運世，在檢驗了9510,000,000(一千萬)以內質數表，發現在元會運世單位，大概率的出現孿生素數，（p，p+2）都是素數的情況。-1，可以使得（p，p+2）都是素數。孿生素數猜想：孿生素數就是指相差2的素數對，例如3和5，5和7，11和13…。這個猜想正式由希爾伯特在1900年國際數學家大會的報告上第8個問題中提出，可以這樣描述：存在無窮多個素數p，使得p + 2是素數。
  • 孿生素數猜想的新突破
    孿生素數猜想是數論領域中最著名的猜想之一，自提出以來，便一直困擾著數學家。孿生素數是指那些相差為2的素數對，比如3和5、5和7、11和13、17和19、599和601……除了第一對孿生素數（即3和5）之外，每個孿生素數對中的第一個素數總是比6的倍數小1。所以第二個孿生素數總是比6的倍數大1。
  • 數學家張益唐破譯「孿生素數猜想」
    在接受中國青年報記者採訪時，沈捷回憶說，此前一天，他和夫人就張益唐在孿生素數方面取得的突破向他發去郵件道賀。　　5月14日，《自然》（Nature）雜誌在線報導張益唐證明了「存在無窮多個之差小於7000萬的素數對」，這一研究隨即被認為在孿生素數猜想這一終極數論問題上取得了重大突破，甚至有人認為其對學界的影響將超過陳景潤的「1+2」證明。
  • 孿生素數猜想之後的故事
    （關於孿生素數和張益唐的工作，請戳《孿生素數猜想，張益唐究竟做了一個什麼研究？》）路漫漫其修遠兮然而，之後的故事還要精彩。在數學界中，對於久攻不下的問題，一旦有人打破一個缺口，其他人很快就會跟進，把缺口弄得更大。張益唐的結果也不例外。
  • 素數並不孤獨
    不過這個估計雖不中亦不遠，只要乘上一個修正係數，藉此表達兩個數相差2的性質，就能得到對孿生素數密度的估計：2C2(lnN) 2。在這裡，修正係數C2是一個關於所有質數的無窮乘積。如果密度確實如此，那麼顯然有無限對孿生素數，孿生素數猜想應該是正確的。
  • 素數是什麼,有哪些和素數有關的數學猜想還未得到解決?
    最初研究素數的是古希臘數學家歐幾裡得（約公元前330年—前275年），他在《幾何原本》中用反證法，對「素數有無窮多個」給出了一個經典的證明方法。（2）孿生素數猜想相差2的素數對叫做孿生素數，比如5和7，11和13，該猜想說的是孿生素數有無窮多對。
  • 傳奇華人數學家張益唐在華羅庚講座講述孿生素數猜想
    這樣堅持了30多年......2013年張益唐第一次成功證明弱版本的孿生素數猜想......」　　這是在2013年8月22日9時許，具有傳奇色彩的美國新罕布夏大學張益唐博士應中國科學院數學與系統科學研究院的邀請出席華羅庚講座時，講座主持人中科院院士王元對他的評價。
  • 華人破譯孿生素數猜想 影響或超陳景潤1+2證明
    在接受中國青年報記者採訪時，沈捷回憶說，此前一天，他和夫人就張益唐在孿生素數方面取得的突破向他發去郵件道賀。　　5月14日，《自然》(Nature)雜誌在線報導張益唐證明了「存在無窮多個之差小於7000萬的素數對」，這一研究隨即被認為在孿生素數猜想這一終極數論問題上取得了重大突破，甚至有人認為其對學界的影響將超過陳景潤的「1+2」證明。
  • 孿生素數猜想,張益唐究竟做了一個什麼研究?
    （文/王若度）最近，《自然》雜誌的網站上刊登了一篇文章，在華人數學愛好者和學者之間產生了轟動。該文章的標題是《第一個無窮組素數成對出現的證明》。「孿生素數猜想」是什麼？這篇文章為何會引起轟動呢？這要從「孿生素數猜想」說起。眾所周知，素數是只含有兩個因子的自然數（即只能被自身和1整除）。而「孿生素數」是指兩個相差為2的素數，例如3和5，17和19等。
  • 素數判別和整數分解存在多項式算法
    連帶而來的一個重大進展就是素數判別除了用是否能分解外，還可以用互素分割來判別，一個數不能用等於或小於其平方根的因子構造，故它必是素數。一般都是用試除篩查，但也可以用互素分割篩查，比如判定7是否為素數，可以把7互素分割為2+5，4+3，因為7同2和3互素，且2和3囊括了小於根號7的所有素數，故7是素數。若存在非互素分割必為合數。這樣就把判定大數是否互素轉換為判定小數是否互素。
  • 北大畢業華人數學家張益唐取得重大成就 孿生素數猜想或有突破
    很多數學家希望通過解決孿生素數問題，進而攻克哥德巴赫猜想。素數，是指只含有兩個因子的自然數（即只能被自身和1整除）。孿生素數，是指兩個相差為2的素數。比如，3和5，17和19等。所謂的孿生素數猜想，是由希臘數學家歐幾裡得提出的，意思是存在著無窮對孿生素數。
  • 數學家們操碎了心的孿生素數猜想,有了新突破
    作者丨佐佑 孿生素數猜想是數論領域中最著名的猜想之一，自提出以來，便一直困擾著數學家。孿生素數是指那些相差為2的素數對，比如3和5、5和7、11和13、17和19、599和601……除了第一對孿生素數（即3和5）之外，每個孿生素數對中的第一個素數總是比6的倍數小1。所以第二個孿生素數總是比6的倍數大1。孿生素數猜想說的是，在自然數集中，這樣的孿生素數對有無窮多個。
  • 發現「孿生素數」猜想的證據，但可能在另外一個宇宙中
    數學家們為數學中最著名，但未被證明的猜想之一發現了一個新證據，這個猜想被稱為「孿生素數」猜想；但這個證據的路線可能不會幫助證明孿生素數猜想本身。孿生素數猜想是關於素數（只能被自身整除且為1的數字）如何以及何時出現在數線上的猜想。「孿生素數」是在那條線上彼此相差2的質數：3和5，5和7，29和31，137和139，依此類推。