170歲「高齡」了 孿生素數猜想還未得到證明

2020-11-30 黎川發布

2019-10-24來源：科技日報作者：代小佩

圖片來源：視覺中國

孿生素數被認為是數論史上的經典難題，也是諸多著名數學猜想之一。在1900年的國際數學家大會上，數學家希爾伯特提出了23個有待解決的重要數學難題和猜想，他把黎曼猜想、孿生素數猜想與哥德巴赫猜想等一起列入了這23個數學問題中的第八問題。

近日，美國哥倫比亞大學的數學家威爾·薩文（Will Sawin）和威斯康星大學麥迪遜分校的馬克·舒斯特曼（Mark Shusterma）在預印本平臺arXiv上發布了一個證明，如果該證明被確認無誤，將為孿生素數猜想的研究提供一種新的有益借鑑。該證明是在一個被稱為有限域的框架上來探討孿生素數猜想的相似版本。有限域上的函數域被認為擁有許多與數域類似的算術性質。

什麼是孿生素數猜想？數論學家們都有哪些不同的驗證思路？有人說解決孿生素數問題，就會給攻克哥德巴赫猜想帶來很大的希望，這是為什麼？

數論史上的經典難題

素數是指只能被自身和1整除的正整數。在古希臘時期，人們就開始關注素數這類自然數中最基本而又神秘的「元素」。

歐幾裡德論證的素數無窮命題可謂人們對素數分布的最初認識。而素數之神秘，根本上在於它們局部分布的不規律。對素數在自然數中分布的研究，便成了十分重要而又極具挑戰性的課題。

兩個相差為2的素數即「孿生素數對」，例如（3，5）、（5，7）、（11，13）、（17，19）等。100以內有8對孿生素數，501到600間只有兩對。素數對的間距為4，則兩個素數被稱為堂表素數對， 間距為6的兩個素數被稱為性感素數對，而中間沒有其他素數的兩個素數則稱為相鄰素數對。

隨著數的變大，可以觀察到的孿生素數越來越稀疏，會不會有一天再也找不到新的孿生素數對呢？有數學家猜想，存在無窮多個素數p，使得p與p+2同為素數。這就是孿生素數猜想。

孿生素數被認為是數論史上的經典難題，也是諸多著名數學猜想之一。來自中科院的數論研究員對科技日報記者表示：「孿生素數猜想是一個很漂亮的猜想。」在1900年的國際數學家大會上，數學家希爾伯特提出了23個有待解決的重要數學難題和猜想，他把黎曼猜想、孿生素數猜想與哥德巴赫猜想等一起列入了這23個數學問題中的第八問題。

「弱形式」是否成立還不知道

證明孿生素數猜想有多難呢？人們甚至不知道它的「弱形式」是否成立。

自1849年法國數學家波林那克提出孿生素數猜想後，在接下來的160多年裡，數學家在這一方面幾乎沒能取得突破性進展。直到2013年，此前籍籍無名的數學講師張益唐打開了一扇通往孿生素數的窗。

他的解決方案或許可以稱為「退而求其次」。既然證明有無窮多個差值為2的素數如此困難，那麼是否可以證明差值為7000萬的素數有無窮多個？

張益唐證明了這一點——存在無窮多個素數之差小於7000萬的素數對。這是數學家首次證明了弱版本的孿生素數猜想。張益唐在不依賴未經證明的結論的前提下，得出這一結果，使得孿生素數猜想研究前進了一大步。憑藉這項研究，張益唐斬獲了2014年美國數學學會柯爾數論獎，並獲得2014年麥克阿瑟天才獎。

「張益唐把大海撈針的力氣活縮短到在水塘裡撈針，而他給出的方法還可以把水塘撈針輕鬆變為遊泳池裡撈針。也許最後變成在碗裡撈針還需要一些再創新的工作，但給出了這一偉大框架已經是讓全世界數學家瞠目結舌的壯舉了。」中國科學院院士湯濤說。

有人打了一個比方，張益唐所做的工作，相當於1920年挪威的布朗證明了「9+9」，由此開啟了數學界對證明哥德巴赫猜想的追尋。接下來，科學家們陸續證明了「7+7」「6+6」，直到46年後，陳景潤證明了「1＋2」。有學者表示，證明「1+2」離證明「1+1」還有很遠的距離，想把素數對之差為7000萬縮小到2，似乎更是遙不可及。

一石激起千層浪。儘管從2到7000萬還存在一段很大距離，張益唐的研究依然被視作一個「重要的裡程碑」。在2013年接下來的幾年裡，包括數學天才陶哲軒在內的數學家一直致力於縮減這個素數差值，目前的最好結果是246。

是否有從246縮減到2的那一天？無人知曉，但數學家們仍在不斷接近孿生素數猜想的最終版本。

與哥德巴赫猜想面臨同樣瓶頸

關於孿生素數猜想，數論學家們還有哪些不同的驗證思路？

據悉，除了張益唐等人給出的有界間距素數對這樣的結果以外，目前對於孿生素數猜想的（1，2）版本證明方法有兩種。第一種是把陳景潤的方法平行照搬過來；第二種是解析數論專家亨裡克·伊萬涅茨 (Henryk Iwaniec)通過Rosser-Iwaniec篩法途徑導出的證明。郭勝表示，該證明的關鍵是通過波動形式的譜理論能夠給出一類克盧斯特曼和（Kloosterman sum）的好的上界，由此可以較好地處理由Rosser-Iwaniec篩法產生的形式極為靈活的餘項，解決了這一困難就相應能夠擴大篩法的水平。

長期以來，在篩法中有一個難以克服的障礙，名為「奇偶原則」或「奇偶障礙」。菲爾茲獎、沃爾夫獎得主，已故數論大師阿特勒·塞爾伯格教授在他的「篩法講義」中闡述了他提出「奇偶原則」的緣由及他在這方面的一些思考。而在兩位解析數論大家約翰·弗裡德蘭德和亨裡克·伊萬涅茨的巨著《篩法》一書中亦對「奇偶原則」進行了一些解讀。

本文開頭提到的那兩位美國數學家在他們於arxiv平臺上發布的論文中宣稱，他們證明了孿生素數猜想的函數域版本即Chowla猜想。他們希冀通過證明這一猜想來繞過「奇偶障礙」。然而一般認為，這一猜想本身難度與對應版本的孿生素數問題相當。截止到本文發布日期，主流數論學界暫未對該結果產生大的漣漪。證明的準確性還有待證實，有學者表示對此抱以審慎的態度。

有人說解決孿生素數問題，就會攻克哥德巴赫猜想。事實上，數論界有一個共識，無論從問題的形式、方法以及已有的一些結果來看，孿生素數猜想和哥德巴赫猜想所需要的技術以及面臨的困難都有很強的相似性。也即是說，解決其中一個問題的方法或許有助於形成解決另一個問題的思路。

「目前，哥德巴赫猜想和孿生素數猜想的最終解決都遇到很大瓶頸。」有學者表示，「孿生素數已有的最好結果是證明到246。如果沒有新的創新，無法將差值縮小到孿生素數猜想所需要的極致：2。而哥德巴赫猜想目前最好的結果也就是陳氏定理，距離『1+1』還有較遠的距離。」

值得一提的是，不同於應用數學，純數學研究不需要預先持有任何特定的實用目的。張益唐認為他的結果沒有實用價值。這不禁讓人想起1940年時數學家哈代寫道的：數學是最質樸和最冷峻的藝術和科學。他堅信數學要有精確的審美觀，一個數學證明應該像簡單而輪廓分明的星座，而不是銀河系中雜亂無章的星群。

相關焦點

  • 素數是什麼,有哪些和素數有關的數學猜想還未得到解決?
    （2）孿生素數猜想相差2的素數對叫做孿生素數，比如5和7，11和13，該猜想說的是孿生素數有無窮多對。目前最好的成果，是美籍華人數學家張益唐，在2013年提出一種方法，證明存在無窮多個差小於某個數M的素數對，當時張益唐證明了M=7000萬的情況，一旦完成M=2就解決了孿生素數猜想，目前M已經被縮小到了200多。
  • 孿生素數猜想
    法國數學家阿爾方·波利尼亞克在1849年提出了更一般的猜想（即「波利尼亞克猜想」）：對所有正整數k，存在無窮多個素數對（p，p+2k）。k等於1時就是孿生素數猜想，而k等於其他正整數時就稱為弱孿生素數猜想（即孿生素數猜想的弱化版）。因此，也有數學家把波利尼亞克作為孿生素數猜想的提出者。
  • 華人數學家張益唐證明「弱孿生素數猜想」
    k等於1時就是孿生素數猜想，而k等於其他自然數時就稱為弱孿生素數猜想(即孿生素數猜想的弱化版)。因此，有人把波利尼亞克作為孿生素數猜想的提出者。孿生素數猜想正式由德國數學家大衛·希爾伯特在1900年國際數學家大會的報告上提出(第8個問題的一部分)。由於孿生素數猜想與哥德巴赫猜想密切相關(姐妹問題)，很多數學家希望通過解決這個猜想，進而攻克哥德巴赫猜想。
  • 素數大猜想(1)孿生素數猜想
    T. M5月22日，老牌英國報紙《衛報》刊登文章，文章的標題是：鮮為人知的教授在折磨了數世紀數學精英的大問題上邁進了一大步。印度主流報紙把作出這一非凡貢獻的人，與印度歷史上最偉大的天才數學家拉馬努金相媲美。這位作出重大數學突破的就是張益唐，由於對數學界最著名的猜想之一孿生素數猜想的破冰性工作，使他從默默無聞的大學講師躋身於世界重量級數學家的行列。
  • 華人破譯孿生素數猜想 影響或超陳景潤1+2證明
    在接受中國青年報記者採訪時，沈捷回憶說，此前一天，他和夫人就張益唐在孿生素數方面取得的突破向他發去郵件道賀。　　5月14日，《自然》(Nature)雜誌在線報導張益唐證明了「存在無窮多個之差小於7000萬的素數對」，這一研究隨即被認為在孿生素數猜想這一終極數論問題上取得了重大突破，甚至有人認為其對學界的影響將超過陳景潤的「1+2」證明。
  • 數學家張益唐破譯「孿生素數猜想」
    在接受中國青年報記者採訪時，沈捷回憶說，此前一天，他和夫人就張益唐在孿生素數方面取得的突破向他發去郵件道賀。　　5月14日，《自然》（Nature）雜誌在線報導張益唐證明了「存在無窮多個之差小於7000萬的素數對」，這一研究隨即被認為在孿生素數猜想這一終極數論問題上取得了重大突破，甚至有人認為其對學界的影響將超過陳景潤的「1+2」證明。
  • 孿生素數猜想的新突破
    孿生素數猜想是數論領域中最著名的猜想之一，自提出以來，便一直困擾著數學家。孿生素數是指那些相差為2的素數對，比如3和5、5和7、11和13、17和19、599和601……除了第一對孿生素數（即3和5）之外，每個孿生素數對中的第一個素數總是比6的倍數小1。所以第二個孿生素數總是比6的倍數大1。
  • 發現「孿生素數」猜想的證據，但可能在另外一個宇宙中
    數學家們為數學中最著名，但未被證明的猜想之一發現了一個新證據，這個猜想被稱為「孿生素數」猜想；但這個證據的路線可能不會幫助證明孿生素數猜想本身。孿生素數猜想是關於素數（只能被自身整除且為1的數字）如何以及何時出現在數線上的猜想。「孿生素數」是在那條線上彼此相差2的質數：3和5，5和7，29和31，137和139，依此類推。
  • 孿生素數猜想之後的故事
    但畢竟，數學證明就是他學識的證明，他的論文寫得如此清楚明白，而所用的方法又是如此合情合理，這衝破了原有的一點點懷疑。編輯認為，張益唐的結論很可能是對的，而他的方法對於解析數論而言，也可能是個重要的進步。因為很多數學證明都相當艱深晦澀，即使是同一個領域的專家，有時也要花上一大段時間來咀嚼揣摩，才能斷定證明是否無誤。
  • 孿生素數猜想——是否存在無窮多個素數p使得p + 2是素數?
    孿生素數猜想指出：孿生素數有無窮多個孿生素數是一個與另一個素數相差2的素數。一組相差2的兩個素數稱為孿生素數對。起源雖然歐幾裡得公元前300年證明有無窮多個素數，是否有無限多的孿生素數直到1849年才被證明，法國數學家波林那克(1826 - 1863)猜想每一個自然數k，存在無窮多的素數p，使得p + 2k也是素數。孿生素數猜想是k=1的特殊情況。
  • 傳奇華人數學家張益唐在華羅庚講座講述孿生素數猜想
    這樣堅持了30多年......2013年張益唐第一次成功證明弱版本的孿生素數猜想......」　　這是在2013年8月22日9時許，具有傳奇色彩的美國新罕布夏大學張益唐博士應中國科學院數學與系統科學研究院的邀請出席華羅庚講座時，講座主持人中科院院士王元對他的評價。
  • 發現「孿生素數」猜想的證據,但可能在另外一個宇宙中!
    數學家們為數學中最著名，但未被證明的猜想之一發現了一個新證據，這個猜想被稱為「孿生素數」猜想；但這個證據的路線可能不會幫助證明孿生素數猜想本身。孿生素數猜想是關於素數（只能被自身整除且為1的數字）如何以及何時出現在數線上的猜想。「孿生素數」是在那條線上彼此相差2的質數：3和5，5和7，29和31，137和139，依此類推。
  • 希爾伯特第八問題有望終結: 孿生素數猜想獲證!
    重合法是組合數學中的等價變換工具，相鄰論是組合數學中的簡化優化工具，兩者結合可解決互素版哥德巴赫猜想。歐拉版哥德巴赫猜想是互素版哥德巴赫猜想的一個推論，互素版哥猜獲證可推動久未解決的系列相關猜想獲證，有多米諾骨牌效應，以此作引理，齋藤猜想、強孿生素數猜想、波利尼亞克猜想以及梁定祥猜想、克拉梅爾猜想亦獲證明。
  • 數學家發現「孿生素數」猜想的證據,但可能在另外一個宇宙中!
    數學家們為數學中最著名，但未被證明的猜想之一發現了一個新證據，這個猜想被稱為「孿生素數」猜想；但這個證據的路線可能不會幫助證明孿生素數猜想本身。孿生素數猜想是關於素數（只能被自身整除且為1的數字）如何以及何時出現在數線上的猜想。
  • 張益唐破譯孿生素數猜想:無名之輩的逆襲—新聞—科學網
  • 找到了「孿生素數」猜想的證據,但它可能在另一個宇宙
    數學家們為數學中最著名但尚未被證實的假設之一——「孿生素數」猜想——找到了新的證據，但證據的路徑可能無助於證明孿生素數猜想本身。孿生素數猜想是猜測一個素數(它只能被自己整除並且是1)如何以及何時出現在一行數字上。」
  • 孿生素數猜想要證明什麼?華裔數學家張益唐成功解決,名揚數學界
    由此產生的數學定理也有不少，比如孿生素數猜想。素數的定義各位應該都知道，小學數學課都教過。孿生素數的定義也不難，就是素數和一個比它大2的素數，比如3和5。孿生素數猜想在我們看來，孿生素數就是這麼簡單，似乎沒什麼好研究的。但在數學家眼裡，素數簡直是座沒有被開發的寶藏。
  • 數學家們操碎了心的孿生素數猜想,有了新突破
    孿生素數是指那些相差為2的素數對，比如3和5、5和7、11和13、17和19、599和601……除了第一對孿生素數（即3和5）之外，每個孿生素數對中的第一個素數總是比6的倍數小1。所以第二個孿生素數總是比6的倍數大1。孿生素數猜想說的是，在自然數集中，這樣的孿生素數對有無窮多個。
  • 北大畢業華人數學家張益唐取得重大成就 孿生素數猜想或有突破
    >很多數學猜想都是「世紀大難題」，和至今尚未有解的黎曼猜想、哥德巴赫猜想一樣，孿生素數猜想也是著名的數學猜想。很多數學家希望通過解決孿生素數問題，進而攻克哥德巴赫猜想。素數，是指只含有兩個因子的自然數（即只能被自身和1整除）。孿生素數，是指兩個相差為2的素數。比如，3和5，17和19等。所謂的孿生素數猜想，是由希臘數學家歐幾裡得提出的，意思是存在著無窮對孿生素數。
  • 張益唐與孿生素數
    這位年近六旬，在一所不太知名的大學中擔任臨時講師的人，這位幾乎沒有發表過專業論文的人，竟然成為破解數學領域最著名猜想之一「孿生素數猜想」的關鍵人物。 所謂「素數」，又稱「質數」，是指只能被1和它本身整除的數字，例如：2、3、5、7等等。但隨著數字增大，素數在數軸上的分布越來越稀疏。想像一條數軸，普通數字是綠色的，素數是紅色的。