因式分解

　　因式分解是中學數學中最重要的恆等變形之一，具有一定的靈活性和技巧性，下面我們在初中教材已經介紹過基本方法的基礎上，結合競賽再補充介紹添項、拆項法，待定係數法、換元法、對稱式的分解等有關內容和方法.

　　1.添項.拆項法

　　添項、拆項的目的是在各項間製造公因式或便於利用公式分解因式，解題時要注意觀察分析題目的特點.

　　例1（1986年揚州初一數學競賽題）分解因式

　　（1+y）2-2x2(1+y2)+x4(1-y)2

　　解：原式=(1+y)2+2(1+y)x2(1+y)+x4(1-y)2-2(1+y)x2(1-y)-2x2(1+y2)

　　=[(1+y)+x2(1-y)]2-2(1+y)x2(1-y)-2x2(1+y2)

　　=[(1+y)+x2(1-y)]2-(2x)2

　　=[(1+y)+x2(1-y)+2x]·[(1+y)+x2(1-y)-2x]

　　=(x2-x2y+2x+y+1)(x2-x2y-2x+y+1)

　　=[(x+1)2-y(x2-1)][(x-1)2-y(x2-1)]

　　=(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y)

　　例2（第11屆國際數學競賽題）證明：具有如下性質的自然數a有無窮多個，對於任意的自然數m.z=n4+a都不是素數.

　　證明設a=4k4（k為大於1的自然數），則

　　z=n4+a

　　=n4+4k4

　　=n4+4n2k2+4k4-4n2k2

　　=(n2+2k2)2-4n2k2

　　=(n2+2k2+2nk)(n2+2k2-2nk)

　　=[(n+k)2+k2][(n-k)2+k2].①

　　∵k為大於1的自然數，

　　∴(n+k)2+k2＞1,(n-k)2+k2＞1

　　故①的右邊兩個因子都大於1，故當k＞1時，z是合數.

　　由於大於1的自然數k有無窮多個，故有無窮多個自然數a，使n4+a對一切自然數n總非素數

　　2.待定係數法

　　若兩多項式f(x)=g(x)，則它們同次的對應項係數一定相等，利用這條結論可將某些因式分解的問題轉化為解方程組的問題來解決.

　　例3分解因式3x2+5xy-2y2+x+9y-4.

　　解由於3x2+5xy-2y2=(3x-y)(x+2y)，故可設

　　3x2+5xy-2y2+x+9y-4

　　=(3x-y+a)(x+2y+b)

　　=3x2+5xy-2y2+(a+3b)x+(2a-b)y+ab.

　　①②③

　　比較兩邊係數得

　　由①,②聯立得a=4,b=-1,代入③式適合.

　　∴原式=(3x-y+4)(x+2y-1).

　　例4(1963年北京中學生數學競賽試題)已知多項式x3+bx2+cx+d的係數都是整數,若bd+cd是奇數,,證明這個多項式不能分解為兩個整係數多項式的乘積.

　　證明設

　　x3+bx2+cx+d=(x+p)(x2+qx+r)

　　=x3+(p+q)x2+(pq+r)x+pr

　　(其中p、q、r均為整數)

　　比較兩邊係數得pr=d.

　　又bd+cd=d(b+c)是奇數,故b+c與d均為奇數,那麼pr也是奇數,即p與r也是奇數.今以x=1代入(因為它是恆等式)得

　　1+b+c+d=(1+p)(1+q+r).①

　　∵b+c,d為奇數,∴1+b+c+d也為奇數,而p為奇數,∴1+p為偶數.

　　∴(1+p)(1+q+r)為偶數.這說明等式①的左端為奇數,右端為偶數,這是不可能的.

　　所以,所述多項式不能分解成兩個整係數多項式的乘積.

　　3.換元法

　　例5分解因式(x2+3x+2)(x2+7x+12)-120.

　　解原式=(x+2)(x+1)(x+4)(x+3)-120

　　=(x+2)(x+3)(x+1)(x+4)-120

　　=(x2+5x+6)(x2+5x+4)-120

　　令x2+5x=A,代入上式,得

　　原式=(A+6)(A+4)-120=A2+10A-96

　　=(A+16)(A-6)=(x2+5x+16)(x2+5x-6)=(x2+5x+16)(x+6)(x-1)

　　例6證明a(a+1)(a+2)(a+3)+1必為完全平方數

　　解原式=a(a+3)(a+1)(a+2)+1

　　=(a2+3a)(a2+3a+2)+1

　　=(a2+3a)2+2(a2+3a)+1

　　=(a2+3a+1)2

　　∴a(a+1)(a+2)(a+3)+1為完全平方數.

　　說明:這裡未設新元,但在思想上把a2+3a看作一個新元素.

　　4.對稱式的因式分解

　　在一個含有若干個元的多項式中,如果任意交換兩個元的位置,多項式不變,這樣的多項式叫做對稱多項式.

　　例7分解因式x4+(x+y)4+y4

　　分析這是一個二元對稱式,二元對稱式的基本對稱式是x+y,xy任何二元對稱多項式都可用x+y,xy表示,如x2+y2=(x+y)2-2xy,二元對稱多項式的分解方法之一是:先將其用xy,x+y表示,再行分解.

　　解∵x4+y4

　　=(x+y)4-4x3y-6x2y2-4xy2

　　=(x+y)4-4xy(x+y)2+2x2y2.

　　∴原式=(x+y)4-4xy(x+y)2+2x2y2+(x+y)4

　　=2(x+y)4-4xy(x+y)2+2x2y2

　　=2[(x+y)4-2xy(x+y)2+(xy)2]

　　=2[(x+y)2-xy]2-2(x2+y2+xy)2,

　　例8分解因式a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b).

　　此題中若將式中的b換成a,c換成b,a換成c,即為c2(a-b)+a2(b-c)+b2(c-a),,原式不變,這類多項式稱為關於a、b、c的輪換對稱式，輪換對稱式的因式分解，用因式定理及待定係數法比較簡單，下面先粗略介紹一下因式定理，為了敘述方便先引入符號f(x)、f(a)如對一元多項式3x2-5x-2可記作f(x)=3x2-5x-2,f(a)即表示當x=a時多項式的值，如x=1時多項式3x2-5x-2的值為f(1)=3×12-5×1-2=-4,當x=2時多項式3x2-5x-2的值為f(2)=3×22-5×2-2=0.

　　因式定理如果x=a時多項式f(x)的值為零,即f(a)=0,則f(x)能被x-a整除(即含有x-a之因式).

　　如多項式f(x)=3x2-5x-2,當x=2時,f(2)=0,即f(x)含有x-2的因式,事實上f(x)=3x2-5x-2=(3x+1)(x-2).

　　證明設f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0,

　　若f(a)=0,則

　　f(x)=f(x)-f(a)

　　=(anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0)

　　=(anan+an-1an-1+…+a1a+a0)

　　=an(xn-an)+an-1(xn-1-an-1)+…+a1(x-a),

　　由於(x-a)|(xn-an),(x-a)|(xn-1-an-1),…,(x-a)|(x-a),

　　∴(x-a)|f(x),

　　對於多元多項式,在使用因式定理時可以確定一個主元,而將其它的元看成確定的數來處理.

　　現在我們用因式定理來解例8.

　　解這是一個含有a、b、c三個字母的三次多項式，現以a為主元，設f(a)=a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b),易知當a=b和a=c時，都有f(a)=0,故a-b和a-c是多項式的因式，而視b為主元時，同理可知b-c也是多項式的因式，而三次多項式至多有三個因式故可設a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)=k(a-b)(b-c)(c-a),其中k為待定係數，令a=0,b=1,c=-1可得k=-1.

　　∴a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)

　　=-(a-b)(b-c)(c-a).

　　例9分解因式a3(b-c)+b3(c-a)+c3(a-b).

　　分析這是一個關於a、b、c的四次齊次輪換多項式，可用因式定理分解，易知a-b,b-c,c-a是多項式的三個因式，而四次多項式還有一個因式，由輪換對稱性可知這個一次因式應是a+b+c，故可設a3(b-c)+b3(c-a)+c3(a-b)=k(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)（其中k為待定係數），取，a=0,b=1,c=-1可得k=-1,所以

　　原式=-(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c).

　　因式定理使用得更多的還是一元n次多項式的因式分解.

　　例10（1985年武漢市初中數學競賽題）證明：2x+3為多項式2x4-5x3-10x2+15x+18的因式.

　　證明以f(x)記多項式.

　　+15-

　　∴2x+3是f(x)的因式.

　　例11分解因式x3-19x-30.

　　分析這裡常數項是30,如果多項式f(x)=x3-19x-30有x-a這種形式的因式,那麼a一定是30的因數,這是因為f(a)=a3-19a-30=0即a3-19a=30.

　　∵a|(a3-19a),∴a|30

　　解30的因數為±1,±2,±3,±4,±5,±6,±10,±15,±30.

　　∵f(1)=-48,f(-1)=-12,f(2)=-60,f(-2)=0,f(3)=-60,f(-3)=0,f(5)=0.(這裡已有f(-2)、f(-3)、f(5)等於零了，三次多項式只有三個一次因式，所以不必再計算了.)

　　∴x3-19x-30=k(x+2)(x+3)(x-5),

　　∴x3的係數為1，∴k=1,

　　故x3-19x-30=(x+2)(x+3)(x-5).

　　練習六

　　1.選擇題

　　(1)在1到100之間若存在整數n,使x2+x-n能分解為兩個整係數一次式的乘積,這樣的n有()個

　　(A)0(B)1(C)2(D)9(E)10

　　(2)二次多項式x2+2kx-3k2能被x-1整除,那麼k值是()

　　(A)1或(B)-1或(C)0(D)1或-1

　　(3)如果100x2-kxy+49y2是一個完全平方式,那麼k=()

　　(A)4900(B)9800(C)140(D)70

　　2.填空

　　（1）多項式6x2+mxy-3y2+3x+10y-3能分解成關於x、y的一次多項式,則m=____.

　　（2）已知x2+x-1=0,則x3+2x2+1985=____.

　　3.（1）分解因式a2-b2+4a+2b+3

　　（2）分解因式(x2+x+1)(x2+x+2)-12.

　　4.（1）分解因式a3b-ab3+a2+b2+1

　　（2）（1989年廣州等五市聯賽）分解因式(x+y)(x-y)+4(y-1).

　　5.（1986年全國初中數學知識競賽）分解因式(x+y)3+2xy(1-x-y)-1.

　　6.證明是合數.

　　7.分解因式(x+y)3-x3-y3+3xy.

　　8.分解因式(ab+bc+ca)(a+b+c)-abc.

　　9.（1986年五城市聯賽試題）若a為自然數，則a4-3a2+9是質數，還是合數？給出你的證明.

　　10.（1985年北京市初中數學競賽題）若a為自然數，證明

　　10|(a1985-a1949).

　　練習六

　　１．Ｄ．Ａ．Ｃ．

　　２．（１）ｍ＝７．（２）１９８６

　　３．（１）（ａ＋ｂ＋１）（ａ－ｂ＋３）．

　　（２）（ｘ＋２）（ｘ－１）（ｘ２＋ｘ＋５）

　　４．（１）（ａ２－ａｂ＋１）（ａｂ＋ｂ２＋１）

　　（２）（ｘ－ｙ＋２）（ｘ＋ｙ－２）

　　５．（ｘ＋ｙ－１）（ｘ２＋ｙ２＋ｘ＋ｙ＋１）．

　　６．Ａ＝１０１９８６＋１＝（１０６６２）８＋１＝…分角為兩因數之積，且兩因數均大於１即可得證．

　　７．原式＝（ｘ＋ｙ）３－（ｘ３＋ｙ３）＋３ｘｙ＝…＝３ｘｙ（ｘ＋ｙ＋１）．

　　８．（ａ＋ｂ）（ｂ＋ｃ）（ｃ＋ａ）．

　　９．原式＝（ａ２－３ａ＋３）（ａ２＋３ａ＋３）．

　　再討論：ａ＝１或２時，知為質數，ａ＞２為合數.

　　１０．∵ａ１９８５－ａ１９４９＝ａ１９４９（ａ２＋１）（ａ４－ａ２＋１）（ａ１２－ａ６＋１）（ａ＋１）（ａ２－ａ＋１）（ａ６－ａ３＋１）（ａ６＋ａ３＋１）（ａ2＋ａ＋１）（ａ－１）．當ａ的個位數字分別為0～9時,上式右端總含有因數2和5,

　　∴１０｜（ａ１９８５－ａ１９４９）．