因式分解方法總匯,值得收藏

2021-01-08 李青海老師

因式分解是初中數學之重點和難點，這裡為各位歸納整理了分解因式的方法，以期幫助大家更好地學好分解因式這一知識，如有謬誤，盼能指正之。

一、概念

把多項式分解為幾個因式乘積的形式，叫分解因式，又叫因式分解。

二、方法和例題

（一）提取公因式法

（1）公式mn十dm=m（n十d）

（2）例、分解因式①2αbC十6αmC一12anC

②（x十y）^2+（x十y）m+（x十y）n

解①原式=2aC（b十3m一6n）

②原式=（x十y）（x十y十m十n）

（二）分組分解法

（1）公式ma十mb十na十nb=（m十η）（a十b）

（2）例題、因式分解

①（x十2y）（m十3n）十5(x十2y)一6m一18n一30

解:原式=（x十2y）(m十3n十5)一6(m十3n十5))

=（m十3η十5）（x十2y一6）

②把x^3+3x^2+3x十2分解因式

解:法一、原式=（x^3+2x^2）+（x^2+2x）+（x+2）

=x^2（x十2）+x（X+2）+（x+2）

=（ⅹ+2）（x^2+x+1）

解法二、原式=（x^3+x^2+x）+（2x^2+2x+2）

=x（x^2+x+1）+2（x^2+x+1）

=（x^2+x+1）（x+2）

（三）運用乘法公式法

（1）乘法公式

①α^2-b^2=（α十b）（α一b）

②α^2+2ab十b^2=（α十b）^2

③α^2-2αb十b^2=（α一b）^2

④α^3+b^3=（α+b）（a^2-ab十b^2）

⑤α^3-b^3=（α-b）（a^2+ab十b^2）

（2）例題

分解因式:8x^2（ⅹ^2-y^2）-27y^2（y^2-ⅹ^2）

解:原式=（2x）^2（x^2-y^2）+（3y）^2（x^2-y^2）

=（x^2-y^2）【（2x）^3+（3y）^3】

=（x+y）（x-y）（2x十3y）（4x^2-6xy+9y^2）

（四）十字相乘法（主要用於二次三項式的因式分解）

（1）對於二次三項式αx^2+bx+C，如果能把a分解成

α=mn，把C分解成C=dh，並把m，n，d，h排列成

又如果按上圖中斜線交叉相乘的積之和正好等於b，即mh十nd=b，則，我們就可分解因式如下:

a^2十bx十C=（mx+d）（nⅹ+h）

（2）例題把下列各式分解因式

①6x^2-5x-4；②15x^2+2xy-8y^2

解①6x^2-5x-4

=（2ⅹ+1）（3x-4）

②15x^2+2xy-8y^2

=（3x-2y）（5x+4y）

（五）雙十字相乘法

僅適用於Ax^2+Bxy十Cy^2+Dx+Ey+F型的多項式分解因式式

（1）方法步驟驟

①先用十字相乘法分解前三項的二次三項式；使A=mn，C=dh，且mn十dh=B；

②再在這個十字相乘圖右邊畫一個「十字」，把常數項F分解為兩個因數e，f，且使ef=F，把e，f填寫在第二個十字的右端，使這兩個因數在第二個十字中交叉之積的和，等於原式中含y的一次項的係數E即df十eh=E，同時還必須與第一個十字中左端的兩個因數交叉相乘，使其交叉之積的和等於原式中含x的一次項糸數D即mf+ne=D，如下圖:

（2）例題:分解因式12x^2+14xy-20y^2+20x-11y+3

解:12x^2+14xy-20y^2+20x-11y+3

=（6X-5y+1）（2x+4y+3）

步驃如下圖所示

其中2X6=12，4x（一5）=一20，13=3，並且

4ⅹ6+2ⅹ（-5）=14，6X3+2ⅹ1=20，-53+4ⅹ1=11

（六）待定係數法法

待定糸數法是先假設一個含有待定示數的恆等式，然後根據各項恆等的性質，列出方程組，解之求得待定糸數的值。

例題、分解因式x^2+2xy-8y^2+2x+14y-3

因為前三項可分解為（x-2y)（x+4y），所以可設

原式=（x-2y+a）（ⅹ+4y+b），展開後重新整理得

原式=x^2+2xy-8y^2+（a十b）x+（4a-2b）y+ab

比較兩也對應項係數，得方程組組

a十b=2……①

4a一2b=14……②

ab=一3……③

鑰電①②③組成的方程鉭可得a=3，b=一1，

所以，原式可分解為

原式=（x一2y十3）（x十4y一1）

（七）配方法

例題:分解因式x^4+4

解:原式=x^4+4x+4-4x2

=（x2+2）^2-（2x）^2

=（x2+2Y+2）（x2-2x+2）

（八）主元法

當多項式中含有多個字母時，我們把多項式看著關於某一個字母的多項式來分解。

例、分解因式x2（y一Z）+y2（Z-x）十Z2（x一y）

解:把原式看作x的二次三項式進行分解

原丸=（y一Z）x2一（y2一Z2）x十yz（y一Z）

=（y一Z）x2一（y十Z）（y一z）ⅹ十yZ（y一z）

=（y一Z）（x2一yⅹ一Zⅹ十yZ）

=（y一z）【（ⅹ一y）x一（X一y）Z】

=（y一z）（x一y）（x一Z）

（九）換元法

例題、把（n十2）（n一2）（n十4）n十12分解因式

解:原式=【（n十2）n】【（n一2）（n十4）】+12

=（n2十2n）（n2十2n一8）十12

令n2十2n=A，則

原式=A（A一8）十12

=A2一8A十12

=（A一2）（A一6）（把A換成n2十2n）

=（n2十2n一2）（n2十2n一6）

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