因式分解5,初級外掛——因式定理

前面幾篇介紹了分組分解、十字交叉、換元、添項拆項、配方法這些因式分解中的常見方法。希望大家能熟練掌握並綜合運用。從這篇開始，我會介紹一些比較高級的技巧，首先是因式定理。

 

因式定理適用於高次多項式的因式分解，其內容是：

一個多項式f(x)，當x=a時，f(a)=0（即讓x=a帶入多項式計算），那麼多項式f(x)必含有因式x-a，反過來，如果f(x)含有因式x-a，那麼必有f(a)=0。此時，a是方程f(x)=0的根。

 

舉個慄子，f(x)=x^2-3x+2，f(1)=0，f(2)=0，所以f(x)必有因式(x-1)和(x-2)。因此，如果我們能夠猜出方程f(x)=0的一個根，就能通過多項式除法進行因式分解，所以被稱為試根法。

 

學生：「嗯，我理解了。但是我怎麼知道方程的根是多少，這比因式分解更難啊？」

 

確實。不過，通常因式分解都限定在有理數範圍內，並且f(x)的係數都是整數，這就給了一些可趁之機：

 

因式定理推論：一個多項式f(x)=An*x^n+An-1*x^(n-1)+…+A2*x^2+A1*x+A0，所有係數An，….，A1，A0均為整數。如果f(x)有有理根a，那麼a=p/q。p，q為整數並且q是最高項An的約數，而p是常數項A0的約數。

 

上面的內容不好理解，我們結合題目來看：

 

例1：因式分解f(x)=x^4-4x+3

 

這個題目在上一篇中用拆項辦法解決，現在用試根法。根據推論，如果f(x)有有理根，那麼a必定可以寫成p/q的形式，並且q是四次項x^4係數的約數，所以q=1；而p是常數項的約數。所以a只能是±1，±3（注意約數可以為負數）。簡單驗證f(1)=0，所以f(x)有因式x-1。接著就可以用多項式綜合除法或者拆項法。