7-3:餘數定理和因式定理

2021-02-25 老貓的教室


         多項式除法同學們都會吧。

         (x3+x2+x+1)÷(x-1)=x2+2x+3……4

         (x3+x2+x+1)÷(x-2)=x2+3x+7……15

         發現什麼有趣的性質伐？

         x3+x2+x+1，當x=1的時候，這個多項式的值是4；當x=2的時候，這個多項式的值是15。如果我們記f(x)=x3+x2+x+1，那麼它除以(x-1)的餘數就是f(1)；除以(x-2)的餘數就是f(2)。在這兒我們定義f(a)就是多項式中x=a之後的值。

 

         先說一下餘數定理：

         餘數定理是指一個多項式f(x) 除以一次多項式(x-a)的餘式是 f(a)。

         這個怎麼證明呢？

         先別證明了啦。先把定理翻譯成數學語言：

         f(x)÷(x-a)=g(x)……f(a)。其中g(x)是商。

         這個寫法其實很不好，因為「餘」不是代數運算，很難處理。有沒有什麼好處理的方案？有，寫成f(x)=(x-a)×g(x)+f(a)。

         好了，我們開始證明：

         設f(x)=(x-a)×g(x)+r，然後令x=a，得到f(a)=r。

咦，證完了。

        

         餘數定理有什麼用呢？

         有：求x2016+x1003+x3+1除以x-1的餘數。餘數定理秒殺，4。

 

         這就是做一類題目咯。還有別的用處伐？

         有：因式定理：

因式定理是指如果多項式f(x),f(a)=0，那麼多項式f(x)必定含有因式x-a。

         這個是餘數定理的顯然推論。我們就不作證明了。

 

         因式定理又有什麼用處呢？也有：

         因式分解：(x-5)(x-6)(x-7)-8×9×10。乘開來要出人命的吧。其實也不會，只是我們三次多項式的分解不會而已。

         還好我們有因式定理：令f(x)= (x-5)(x-6)(x-7)-8×9×10，顯見x=15的時候，f(x)=0，也就是說f(15)=0。根據因式定理，這個多項式有因式(x-15)。然後把多項式去除以(x-15)，二次多項式就沒有什麼難度了。

 

         思考題：因式分解：(x-3)4+(x-5)4-82

 

 

 

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