數學上，兩個整數除以同一個整數，若得相同餘數，則二整數同餘（英文：Modular arithmetic，德文：Kongruenz）。同餘理論常被用於數論中。最先引用同餘的概念與符號者為德國數學家高斯。同餘理論是初等數論的重要組成部分，是研究整數問題
的重要工具之一，利用同餘來論證某些整除性的問題是很簡便的。同餘是數學競賽的重要組成部分。
公元972年，在一份阿拉伯手稿中，提出了這樣一個問題：一個正整數n何時能成為一個由三個有理平方數形成的等差數列的公差，也就是說x-n，x，x+n都是平方數。十三世紀，義大利數學家斐波那契指出5和7是同餘數，他也猜想1、2、3不是同餘數，但未能給出證明。直到1659年，法國大數學家費爾馬運用他自己發明
的無窮下降法證明了1、2、3不是同餘數。十八世紀，大數學家歐拉首次證明了7是同餘數。1952年，Heegner證明了任意模8餘5、7的素數和任意模4餘3的素數的兩倍均為同
餘數。2000年，美國克雷數學研究所公布了千禧年七大數學難題，每破解其中一個難題者將獲得100萬美元的獎金。其中就有著名的BSD猜想（全稱Birch and Swinnerton-Dyer猜想），而這個猜想與同餘數問題有緊密的聯繫。2012年，田野證明了存在無窮多個具有任意指定素因子個數的同餘數，這是在同餘數問題上的一個根本性突破，也首次給出了解決BSD猜想的線索。
1.歐拉定理：設a,m∈N，(a,m)=1，則
，
(註：φ(m)指模m的簡系個數， φ(m)=m-1，如果m是素數；
2.費馬小定理: 若p為質數，則
即
（但是當p|a時不等價）。
3.中國剩餘定理（孫子定理）：
設整數
兩兩互素，令
（mi的連乘）。則對於任意的j在(1,n)整數，下列聯立的同餘式有解：
令x為從1到n，ajxj的和，則x適合下列聯立同餘式，
的無窮下降法證明了1、2、3不是同餘數。十八世紀，大數學家歐拉首次證明了7是同餘數。1952年，Heegner證明了任意模8餘5、7的素數和任意模4餘3的素數的兩倍均為同
餘數。2000年，美國克雷數學研究所公布了千禧年七大數學難題，每破解其中一個難題者將獲得100萬美元的獎金。其中就有著名的BSD猜想（全稱Birch and Swinnerton-Dyer猜想），而這個猜想與同餘數問題有緊密的聯繫。2012年，田野證明了存在無窮多個具有任意指定素因子個數的同餘數，這是在同餘數問題上的一個根本性突破，也首次給出了解決BSD猜想的線索。
1.歐拉定理：設a,m∈N，(a,m)=1，則
and Swinnerton-Dyer猜想），而這個猜想與同餘數問題有緊密的聯繫。2012年，田野證明了存在無窮多個具有任意指定素因子個數的同餘數，這是在同餘數問題上的一個根本性突破，也首次給出了解決BSD猜想的線索。
1.歐拉定理：設a,m∈N，(a,m)=1，則