有了前面2篇的準備，我們現在開始給出高斯對於n=3時費馬大定理的證明。實際上高斯是證明了一個更為一般的結論，即對於每個單位ε，型如x^3+y^3=εz^3的方程在復整數範圍中沒有xyz≠0的解。整個證明是由如下3個部分組成：
（I）如果方程x^3+y^3=εz^3在復整數中存在xyz≠0的解，則存在非零復整數x*，y*，z*以及某個單位ε*，使得x*^3+y*^3=ε*z*^3，並且π不整除x*y*但π整除z*。
（II）對於任意不為零的復整數x，y，z，如果滿足x^3+y^3=εz^3，並且π不整除xy但π整除z，則π^2也整除z。
（III）如果存在不為零的復整數x，y，z，滿足x^3+y^3=εz^3，並且π不整除xy但π^2整除z，則存在復整數u，v，w和單位ε*滿足u^3+v^3=ε*w^3，並且π不整除uv以及π整除w，但o(w)<o(z)。
我們可以看出（I），（II），（III）中蘊含了一個矛盾，因為如果解存在，我們根據（I），（II），得到了解x，y，z，再根據（III）我們得到了u，v，w但此時1≤o(w)<o(z)，但由（II）可知π^2也整除w，我們可以繼續重複（II），（III）不斷的使o(z)嚴格減小，但是o(z)是一個有限的正整數，因此經過若干輪後必然得出矛盾。
下面我們來說具體說明如何證明這3步。
（I）的證明：
假設復整數x，y，z，滿足x^3+y^3=εz^3且xyz≠0，x，y，z兩兩互素（如果有公因子等式兩邊除一下消去即可）。如果π不整除每個x，y，z，則根據(中篇)提到的性質3，兩邊取模π^4的餘數可得±1±1≡±ε(mod π^4)。最後歸結到2種情況0≡ε(mod π^4)和±2≡ε(mod π^4)。第一種情況顯然不成立，因此π^4整除2±ε，所以N(π^4)也整除N(2±ε)。但是N(π^4)=N(π)^4=3^4，而ε=±1，±ω，±ω^2，因此N(2±ε)的可能取值為1，3，7，9均不被3^4整除，矛盾。因此π必整除xyz。
如果π不整除yz，則π必整除x。x^3+y^3=εz^3的兩邊取模π^4的餘數，可得±1≡ε(mod π^4)，也就是π^4整除ε±1。通過計算範數可知ε±1=0，此時可把原方程變形為(±z)^3+y^3=(-x)^3。同理當π不整除xz時，原方程可以變形為x^3+(±z)^3=(-y)^3。總之方程最後可以變形成x*^3+y*^3=ε*z*^3的形式，且π不整除x*y*但π整除z*。
（II）的證明：
在x^3+y^3=εz^3的兩邊再取模π^4的餘數，則±1±1≡±εz^3(mod π^4)。最後歸結到2種情況0≡εz^3(mod π^4)和±2≡εz^3(mod π^4)。前者表明π^4整除z^3，所以π^2就整除z。對後者而言，因為如果π整除z那麼π就整除±2，然而N(π)=3，N(±2)=4，矛盾。因此只可能是第一種情況，即π^2整除z。
（III）的證明：
假設復整數x，y，z兩兩互素，且滿足x^3+y^3=εz^3，以及π不整除xy但π^2整除z。因此(x+y)(x+yω)(x+yω^2)= εz^3，由π^2整除z可知εz^3關於π的指數o(εz^3)≥6，所以上述等式左邊的三項至少有一項關於π的指數不小於2。不妨假設o(x+y)≥2。因為π不整除y，所以我們可以得到：
根據中篇10)中提到的有關階的運算性質，我們可以得到：
現在求x+y，x+yω，x+yω^2中任意兩個復整數的最大公因子。假設素元ρ整除x+y和x+yω，則ρ也整除兩者之差(1-ω)y=πy，那麼ρ整除π或者ρ整除y。但是如果ρ整除y則ρ必整除(x+y)-y=x這與x，y互素矛盾，所以ρ必整除π，也就是說ρ和π必相伴。因此x+y和x+yω的最大公因子只能是π的某個方冪及其相伴元。同理可證x+yω和x+yω^2，x+y和x+yω^2的最大公因子也都是π的某個方冪及其相伴元。又因為這三個復整數的乘積為εz^3，根據素元分解唯一性我們假設：
其中η均為單位，k=o(x+y)=3o(z)-2，而α，β，γ為兩兩互素的復整數，且π不整除αβγ。另外：
兩邊消去π，可得：
考慮到ωη2也是單位，則兩邊同時消去，可得：
我們再令：
這樣上式便改寫成：
因為π不整除β和γ，根據中篇提到的性質3，有：
同時也有：
同理：
所以在下式：
兩邊同取模π^2的餘數可得±1±ε2≡0(mod π^2)，即π^2整除1±ε2，從而N(π^2)也整除N(1±ε2)。而N(1±ε2)的全部可能取值只有0,1,2,3,4因此只有1±ε2=0，即ε2=±1。
最後令u=β，v=ε2γ，則u^3+v^3=ε*w^3，而且π顯然不整除uv但整除w，並且o(w)=o(z)-1<o(z)。這樣就證明了（III）。
至此，我們就證明了指數為3時的費馬大定理。
指數為3的費馬大定理的證明（上）
指數為3的費馬大定理的證明（中）