費馬大定理這三百年,鬼知道它究竟經歷了什麼?

在通往真理的道路上，到處都布滿陷阱。

出品：科普中國

製作：黃書煜

監製：中國科學院計算機網絡信息中心

在通往真理的道路上，到處都布滿陷阱。

美國作家索洛曾說：美國鐵路的每一根枕木下面都橫臥著一具愛爾蘭工人的屍首。正是早期無數人的血汗鑄就了今日的文明成就。同樣，在徵服費馬大定理三百多年的歷程裡，也有眾多人類最耀眼的科學明星一同鋪就通往明天的鐵路。

費馬本人對大定理雖然一筆帶過，卻也留下了自己對這個問題的初步思考。他在另外一篇文章裡，簡單敘述了如何證明當"n=4"的時候，方程"(x^4)+(y^4)=(z^4)"不存在正整數解。不過費馬對大定理的研究也止步於此，他並沒有給出對其他自然數n的相關證明。在聽聞費馬的評註之後，德國數學家萊布尼茨（Leibniz）也獨立證明了"n=4"的情形,證明的手法與費馬如出一轍。

在費馬大定理提出後，18世紀最偉大的數學家之一歐拉（Euler）成為取得重大進展的第一人。1770年，歐拉證明了當"n=3"的時候，費馬大定理成立。

此後，人們對費馬大定理的證明進入了漫長的黑暗期。到了19世紀初，費馬大定理已經成為數論中最著名的問題。就在人們一籌莫展的時候，一位年輕的法國女數學家索菲·熱爾曼（Sophie Germain）帶來了激動人心的突破。她對一類被後人稱為熱爾曼素數的自然數，證明了方程"大概"不存在整數解。

1825年，德國數學家狄利克雷（Dirichlet）和法國數學家勒讓德（Legendre）使用熱爾曼的方法成功地證明了大定理對"n=5"的時候成立。

14年後的1839年，另一位法國數學家拉梅（Lame）在熱爾曼的工作進一步優化的基礎上，一舉證明了"n=7"的情形。

熱爾曼的工作似乎為費馬大定理指出了一條光明的大道。法國科學院於是設立了一系列的獎項，以獎勵最終能證明費馬大定理的數學家。法國科學家柯西（Cauchy）和拉梅都參與到這場競爭中。他們曾宣稱已經證明了費馬大定理，然而事實上，兩人都以失敗告終。

19世紀的星空註定不是最耀眼的時刻，真理仍然在黑暗中匍匐前行。這一百年間，費馬大定理最為關鍵性的貢獻來自於德國數學家庫默爾（Kummer）。他創立了理想數理論，為代數數論奠定了基礎。庫默爾證明當n＜100時除37、59、67三數外費馬大定理均成立，研究數論的技術在庫默爾這裡到達了巔峰。然而，對類似費馬大定理這樣的難題的證明來說，萬裡長徵，才僅僅走了一小半。

數學家庫默爾（圖片來源：百度圖片）

庫默爾的工作給數學家們帶來了前所未有的希望和迷茫。一方面，費馬大定理證明因為庫默爾發明的工具和理念而取得驚人的進展；而另一方面，庫默爾的手法又讓證明大定理的希望變得更加渺茫。沿著庫默爾開創的道路走下去，既看不到終點，也看不清方向，大定理的證明還被籠罩在一片迷霧之中。曙光，還將留給20世紀的晨曦。

到了20世紀初，費馬大定理雖然在數學家心目中佔據著獨特的位置，卻已經漸漸失去了光澤。解決這個古老問題的嘗試被私下嘲諷為鍊金術一般，只有瘋子和偏執狂才會去做這樣荒謬的夢。此時，只有一劑強心針才能挽救人們對費馬大定理的信心。

1908年，對大定理的研究因為達姆斯塔特的一位德國實業家沃爾夫斯凱爾（Wolfskehl）而得到新生。這更為費馬大定理增添了不可思議的傳奇色彩。

沃爾夫斯凱爾在大學裡學過數學，且對數論情有獨鍾。畢業後，他一方面繼續家族的經商，一方面仍與職業數學家保持著聯繫。

不久，沃爾夫斯凱爾在向一位漂亮的年輕女性求愛時遭到了拒絕。自尊心受到強烈挫傷的他在失望下決定自殺。沃爾夫斯凱爾選好了自殺的日子，寫下了遺囑，並在自殺的那一天早早安排好了當天所有事情。眼看著自殺的吉時良辰還沒到，為了消磨剩下的幾個小時，他到圖書館開始翻閱數學書籍。

命運隨即開啟了一系列奇特的鏈式反應。沃爾夫斯凱爾看到了庫默爾的經典工作，很快他就被庫默爾的思想和計算吸引住了。在他一行行開始驗算的時候，突然發現了庫默爾證明的一個漏洞！

他仔細審閱了這個證明，開始思考關鍵性的補救工作。幸運的是，工作到黎明時分的他終於解決了庫默爾的問題，而此時距離他自殺的時間已經過去了。他對自己能發現並改正那個時代最偉大的數論學家庫默爾的工作而感到無比驕傲，而這個工作和費馬大定理也密切相關。幸福的情緒很快瀰漫在他腦海裡，終於讓他放棄了自殺的念頭。

沃爾夫斯凱爾撕毀了自己的遺囑。1908年，在他去世之前，新遺囑問世。這是一個讓所有人瞠目結舌的遺囑。沃爾夫斯凱爾為了感謝這個挽救過他生命的複雜難題，將他大部分的遺產設立為一個大獎，以此獎勵第一個證明費馬大定理的人。

沃爾夫斯凱爾的巨額獎金再一次將費馬大定理推上了風口浪尖。大定理再次點燃了眾人的熱情，很快吸引了眾多的參與者。

與此同時，20世紀數學的發展大大出乎人們的意料。1931年，哥德爾（Godel）首先證明了令人驚異的不完備定理。該定理指出存在一些問題，永遠無法被證偽或者證實。這樣的問題被哥德爾稱為"不可判定"的問題。然而，哥德爾的證明僅僅是理論預言這類詭異的問題，當時人們關注的重大問題中還沒有出現這樣的異類。到了1963年，美國數學家科恩（Cohen）則首先證明了"連續統假設"的不可判定性。

哥德爾的工作，加上科恩給出的具體的不可判定的問題，讓人們對"費馬大定理"產生了深深的恐懼。如果費馬大定理是不可判定的，那麼數個世紀以來，數學家花費無數的時間卻是在尋找一個根本不存在的證明。其結果可能是，費馬大定理也許是對的，但就是無法證明它。

儘管如此，在研究費馬大定理的過程中，數學家們還是創造了許多新的理論和方法，特別是計算機的誕生也為費馬大定理的證明提供另一種思路。1955年，n＜4002的情形已經得到證實。此後，隨著計算機能力的加強，n的值也被迅速推進。1976年德國數學家瓦格斯塔夫證明n＜125000，1985年美國數學家羅瑟證明n＜41000000。然而，從有限到無窮，仍然是無法跨越的險峰天塹，人們在緩慢而艱難地推進著定理的證明。

三百年來，在探索大定理出路的小徑上，已經留下無數英雄孤獨的身影。大定理的每一小步，都是數學史上濃重的一筆。沒有人知道，這條小路會將人們帶向何方。

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