原創： 曹則賢 返樸
費馬宣稱自己證明了但在書邊寫不下證明過程的那個猜想，後來變成了費馬大定理。三百多年來，費馬大定理的證明吸引了大批數學家前僕後繼，也產生了諸多無心插柳式的成果。如今，費馬大定理算是得到了證明，但也許我們還是可以期待費馬曾以為得到過的那種簡明的證明。
撰文 | 曹則賢（中國科學院物理研究所研究員）
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費馬這個人
法國人費馬是科學史上的傳奇人物，職業是個律師，但為世人所熟知的卻是他的數學研究。對學物理的人來說，費馬的名字是與光學中的費馬原理聯繫在一起的：「光在兩點間的傳播所走的路徑使得用時最短。」這是物理學中最小作用量原理 (least action principle，最少動作原理) 發展過程中的關鍵一環。作為一個業餘數學家，費馬是微分求極值技術的先驅，還研究過數論、解析幾何和概率論等學問。費馬能熟讀希臘文，通曉希臘古典典籍。有人評論說費馬的數學基礎就是希臘典籍加上韋達的新代數方法。
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費馬大定理
亞歷山大的丟番圖是位數學家，有代數學之父的美譽，編著有名為Arithmetica (算術)的叢書。《算術》叢書大部分已遺失。丟番圖在《算術》叢書中考慮了許多不同形式的代數方程，其中之一是形為 xn+yn=zn 的方程，其中x, y, z和n都是正整數。對於n=1，方程 x+y=z 就是自然數的加法，有無窮多組解。對於n=2，方程 x2+y2=z2 有人們所熟知的畢達哥拉斯數組， 如 (3,4,5), (5, 12, 13), (9, 40,41), (11, 60,6 1), (13, 84, 85) , (17, 144,145), (19, 180,181) 等等，也有無窮多組解。如果把n擴展到負整數，對於 n=-1，方程變為 x-1+y-1=z-1 (optic equation)，三數組 (6, 3, 2) 顯然是方程的解。給定三個整數 m, n, k， 令 x=km(m+n)，y=kn(m+n)，z=kmn，就能得到一個三數組滿足 x-1+y-1=z-1 ，比如 (15，10, 6), (28, 21, 12) 等。n=-2 時，方程變為 x-2+y-2=z-2 ，任意三數組 a=(u2-v2)(u2+v2) ，b=2uv(u2+v2) ，c=2uv(u2-v2) ，其中u, v是互質的整數，滿足這個方程，也有無窮多種可能。
費馬在閱讀丟番圖的《算術》一書的拉丁文譯本時，認真地研究過這些丟番圖方程。1637年，費馬曾在第11卷第8命題旁寫下了一段話：「將一個立方數分成兩個立方數之和，或一個四次冪分成兩個四次冪之和，或者一般地將一個高於二次的冪分成兩個同次冪之和，這是不可能的。關於此，我確信已發現了一種美妙的證法 ，可惜這裡空白的地方太小，寫不下。拉丁文原文不長，照錄於此：「Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos ejusdem nominis fas est dividere: cujus rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.」 這意思是說，費馬猜測方程 xn+yn=zn 對於n＞2 沒有解，這就是所謂的費馬猜想或者費馬大定理[1]。有趣的是，費馬寫下這句話後直到28年後去世，並沒有發表他宣稱的證法。1667年，費馬的兒子在他遺留的書本裡翻到了這一句話並將之公諸於世，1670年再版《算術》一書就把費馬的評論收錄進去了 (圖1) 。費馬的評論或者猜想慢慢地也就變成了費馬大定理。
圖1. 法國1670年再版的丟番圖《算術》一書中含費馬評論的一頁
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費馬大定理的證明
費馬大定理吸引了無數數學愛好者。然而，自1667年算起到20世紀90年代的三百餘年間，沒有數學家成功證明過這個猜想，以至於這個猜想被評為最困難的數學問題 (當然是指人人能看得懂的那類問題) 。漸漸地，人們甚至從懷疑到底費馬是否曾得到過這個猜想的簡潔證明到懷疑這個猜想到底是否有簡潔證明。在對費馬的懷疑聲中，有觀點認為他這麼寫時是確切知道自己並沒有證明的，至於動機就不好說了。費馬的這個行為甚至有人模仿, 後世的英國數學家哈代給丹麥數學家玻爾的明信片上就寫著：「我已證明了黎曼猜想。」他的想法是，如果不幸遇到海難了，人們會從明信片內容相信他證明了黎曼猜想。即便將來黎曼猜想被別人證明出來了，也會有人認為是他首先證明了黎曼猜想。你現在在看這段文字，就表明哈代當初的策略成功了。
對費馬大定理的證明刺激了19世紀分析數論的發展和20 世紀模形式定理的證明，也不枉了對費馬大定理的證明所投入的努力，說它是會下金蛋的鴨子估計說得過去。雖然對於一般情形沒有證明，但是期間出現了許多針對特定 n 值的證明。費馬自己就證明了n=4 的情形方程無解。對於n=4，方程 x4+y4=z4 ， 進一步可以改寫為 x4+y4=(z2)2 。而由邊為整數的直角三角形的面積不可能是整數的平方這一事實， 可以導出 x4+y4=w2 無(x, y)成對互質的解。或者，若假設有 (x1, y1, z1) 是 x4+y4=z4 的解，則一定存在一組更小的解 (x2, y2, z2) ，這個序列可以一直繼續下去。但這是不可能的，因為要求為整數，數組 (x, y, z) 作為解必須有最小的可能。這證明了 n=4 時方程無解。對於n=4，還有許多不同的證明，證明者包括歐拉、勒讓德、勒貝格 (Victor-Amédée Lebesgue，1791-1875）、克羅內克等大數學家。
關於 n=5，成功證明的數學家包括歐拉、勒讓德、勒貝格、狄裡希利等人。勒貝格關於 n=5 和 n=7 的證明見於論文Théorèmes nouveaux sur l'équation indéterminée x5+y5=az5 (關於不定方程 x5+y5=az5 的新定理) ， Journal de Mathématiques Pures et Appliquées 8, 49–70 (1843)和Démonstration de l'impossibilité de résoudre l'équation x7+y7=z7 en nombres entiers (關於方程
x7+y7+z7=0 不存在整數解的證明)，Journal de Mathématiques Pures et Appliquées 5, 276–279 & 348–349 (1840) ，有興趣的讀者可以找來練練手。不過，我估計不太容易看懂。以 n=5 的解法之一為例，讓我們感受一下證明的難度。假設 x5+y5=z5 有整數解，顯然可以認為 xyz≠0 ， 且 gcd(x, y, z)=1 ，意思是這三個數最大公因子為1，它們是互質的。當然，由於奇數的整數冪必是奇數，偶數的整數冪必是偶數，兩個奇數之和與之差皆為偶數， 故可以認定 x, y 是奇數而 z 是偶數。從索菲的證明我們可以假設xyz是5的倍數——法國女數學家索菲·熱爾曼 (Sophie Germain，1776-1831) 已證明了若 n≥3 且 2n+1 是素數，n 必能整除xyz。若5能整除xyz，有兩種可能，5能整除z和5不能整除z。若5能整除z且z 還是偶數，則z一般地可表達為 z=2m5kz' 的形式。如果5不能整除z， 那可以假設它整除奇數x，可令 x=5kx' 。從這兒出發，最終都能推導出矛盾來。由於過程太長，此處不給具體的細節了，有興趣的讀者請參考文後的推薦閱讀。無意深入的讀者請記住，一項偉大事業的每一步可能都是艱難的。
1994年英國數學家懷爾斯 (Andrew Wiles，1953-) 宣稱證明了費馬大定理。懷爾斯提交了兩篇論文，Modular elliptic curves and Fermat's Last Theorem (模形式橢圓曲線與費馬大定理) 以及Ring theoretic properties of certain Hecke algebras (某些Hecke 代數的環論性質)，其中第二篇有一個合作者。這兩篇文章1995年作為數學年鑑雜誌的一整期發表出來，不知道幾人能讀懂。筆者讀不懂，也就不試圖介紹了。
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多餘的話
有讀者肯定會有疑問，你既然也讀不懂（實際上是沒讀過）懷爾斯關於費馬大定理的證明，為什麼要寫下這個短篇？本篇並沒有提供任何有趣的、有意義的證明。Let me tell you. 我寫下這篇，是因為我對於那種動輒篇幅長達兩三百頁、滿頁非人類語言、甚至還動用計算機的數學證明，從心裡不是太能夠接受。這或許是由面對那些數學內容而我卻無力理解所帶來的挫折感所致。就費馬大定理這個特定問題而言，我傾向於相信它有個簡潔的證明，或者說我就是希望它有個簡潔的證明，那種有美感 (aesthetic appeal) 的證明。那些費馬大定理在具體某個n的情形下成立的證明之令人毛骨悚然的複雜，不是排除存在簡潔證法的理由。證明的缺失可能是因為對問題在更高層面上理解的缺失。
為了那個簡潔的證明，我想一定還有數學家在努力著，而我也願意等。
注釋
[1] 漢語一般稱為費馬大定理， 但英文的Fermat’s last theorem和法文的le dernier théorème de Fermat 一樣，應該翻譯成費馬最後定理。法語也稱 grand théorème de Fermat，這才是費馬大定理。費馬於1640年還提出了費馬小定理，Fermat’s little theorem, le petit théorème de Fermat。這種叫法只是為了和前述定理區分，兩者沒有比較意義的大小之分。
建議閱讀
1. Ian Stewart, David Tall，Algebraic Number Theory and Fermat's Last Theorem，4th edition, CRC (2015).
2. Nigel Boston, The Proof of Fermat's Last Theorem, Springer (2003).
3. Harold M. Edward，Fermat's Last Theorem: A Genetic Introduction to algebraic number theory, 3rd edition, Springer (2000).
本文摘自《驚豔一擊-數學物理史上的絕妙證明》（外語教學與研究出版社，2019年8月），經授權發表。
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