在前一篇文章中,我們分享了因式分解的作用:(1)逆用公式求代數式的值;(2)簡便運算;(3)整體思想求代數式的值;(4)整數解問題;(5)判斷三角形的形狀。本篇文章中,我們分享下因式分解常用的六種方法,看一下自己掌握了幾種。
01提公因式法
提公因式法是因式分解中最基礎的方法,我們拿到一個需要因式分解的代數式時,先看下這個代數式中有沒有公因式,然後再想其它方法。
(1)公因式是單項式的因式分解
例題1:分解因式:2mx-6my=__________.
那麼,什麼是公因式呢?多項式中各項都含有的相同因式就是該多項式的公因式。如何找公因式呢?一找係數,係數是多項式中各項係數的最大公約數;二找字母,需要找相同的字母,而且是字母指數的最低次冪。例題1中,係數有2和6,它們的最大公約數是2;字母有x、y、m,相同字母只有m,m的最低次冪為1,因此公因式為2m。解:2mx-6my=2m(x-3y)。
(2)公因式是多項式的因式分解
例題2:分解因式:a(b-c)+c-b=__________.
觀察式子,係數為1,考慮字母,本題字出現了多項式,解題的方法是一樣的,我們找相同多項式的最低次冪,公因式為:b-c。解:a(b-c)+c-b=a(b-c)-(b-c)=(a-1)(b-c)。
02公式法
公式法包括完全平方公式法與平方差公式法,運用公式法時要觀察代數式的特點,完全平方公式一般是三項,首尾都是平方的形式;平方差公式一般是兩項,是平方減平方的形式的。
(1)直接使用公式法
直接使用公式法進行因式分解時,要找準公式中的a與b,a與b可能是單獨的字母或數字,也有可能是多項式。
2.先提公因式再使用公式法
因式分解時,第一步應該看有沒有公因式,提取公因式後再看能不能用公式法,因式分解一定要分解到最後一步,比如例題4中的第二個,先提公因式,然後使用了完全平方公式進行分解,最後還要使用平方差公式分解。
3.先局部公式法因式分解,再利用公式法因式分解
沒有公因式或沒法直接使用公式法時,觀察代數式看是否能局部使用公式法進行因式分解,然後在使用公式法進一步因式分解。
03分組分解法
出現多項時,可能會用到分組法解法進行因式分解,如果是四項可能二二分組,也可能三一分組,分組的方法不唯一,有些時候可能將有公因式的分成一組,有些時候可能將能使用公式法的放一組,我們需要通過自己的觀察和嘗試來確定分組的方法。
多項式中有四項時,二二分組通常:(1)按字母分組;(2)按係數分組;(3)可以平方差公式兩個為一組。三一分組一般先完全平方公式後平方差公式。多項式中有五項時,三二分組,一般各組之間有公因式。多項式中有六項時,一般三三分組,二二二分組、三二一分組,具體題目具體分析。
04拆、添項法
這種題目相對來說比較困難,乍看不能因式分解,需要我們自己添加輔助項使其符合公式特徵。
05整體法
將某個多項式看作一個整體,類似提公因式法。
例題8:因式分解:a(x+y-z)-b(z-x-y)-c(x-z+y).
解:原式=a(x+y-z)+b(x+y-z)-c(x-z+y)=(a+b-c)(x+y-z)
06換元法
當一個多項式比較複雜或者出現高次並且有相同因式時,我們可以嘗試用換元法,將其轉化為一個字母。使用換元法有兩個注意點:(1)換元後記得換會原代數式;(2)分解要徹底。
還有一種十字相乘法,感興趣的同學可以自己了解下,十字相乘法也是一種比較重要的方法,在初三學習一元二次方程時會經常使用。