初中數學競賽:因式分解常用方法之一——公式法

2021-01-08 啊年小課堂

大家好，我是啊年，今天我們來學習一下初中數學競賽題，咱們常用到的解決因式分解問題方法——公式法，當然啦，平時考試的時候，這個方法也是經常用到的。

咱們先來看一下常用的數學公式~

基礎公式

(1)平方差公式：a-b=(a+b)(a-b)

(2)完全平方和公式：a+2ab+b=(a+b)

(3)完全平方差公式：a-2ab+b=(a-b)

進階公式

(4)立方和公式：a+b=(a+b)(a-ab+b)

(5)立方差公式：a-b=(a-b)(a+ab+b)

(6)完全立方和公式：a+3ab+3ab+b=(a+b)

(7)完全立方差公式：a-3ab+3ab-b=(a-b)

(8)a+b+c+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)

(9)a+b+c-3abc=(a+b+c)(a+b+c-ab-bc-ca)

接下來我們看幾道例題~

典型例題

例1 分解因式：x-8y-z-6xyz

這道題還是比較簡單的，如果同學們記住了公式(9)——a+b+c-3abc=(a+b+c)(a+b+c-ab-bc-ca)。

x-8y-z-6xyz

=x+(-2y)+(-z)-3x(-2y)(-z)

=(x-2y-z)(x+4y+z+2xy-2yz+xz)

例2 分解因式：a+b+c-2bc+2ca-2ab

這題有兩種做法，第一種，直接套用公式(8)——a+b+c+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)

a+b+c-2bc+2ca-2ab

=a+(-b)+c+2(-b)c+2ca+2a(-b)

=(a-b+c)

第二種，先將式子分組，再利用完全平方公式分解因式

a+b+c-2bc+2ca-2ab

=a+b-2ab+c-2bc+2ca

=(a-b)+c+2(a-b)c

==(a-b+c)

例3 分解因式：a+b+c-3abc

這是我們前面給出的公式(9)，這裡給大家證明一下~

PS：這題的方法有很多，這裡啊年偷懶，只給出了一種，有興趣的同學可以自行問度娘哈(逃走)

這題我們可以用一下完全立方和公式——a+3ab+3ab+b=(a+b)。

根據完全立方和公式——a+3ab+3ab+b=(a+b)，

可得a+b=(a+b)-3ab-3ab

a+b+c-3abc

=(a+b)-3ab-3ab+c-3abc

=(a+b)+c-3ab-3ab-3abc

這裡我們可以將(a+b)+c分為一組，-3ab-3ab-3abc分為一組，其中(a+b)+c我們可以根據立方和公式——a+b=(a+b)(a-ab+b)展開，(a+b)+c=(a+b+c)[(a+b)-(a+b)c+c]=(a+b+c)(a+2ab+b-ac-bc+c)=(a+b+c)(a+2ab+b-ac-bc+c)-3ab-3ab-3abc提出公因式-3ab，-3ab-3ab-3abc=-3ab(a+b+c)

那麼原式=(a+b+c)(a+2ab+b-ac-bc+c)-3ab(a+b+c)

=(a+b+c)(a+b+c-ab-bc-ac)

作業

(x+y)+2xy(1-x-y)-1

作業答案

(x+y)+2xy(1-x-y)-1

=(x+y)-1+2xy(1-x-y)

=(x+y-1)[(x+y)+x+y+1]+2xy(1-x-y)

=(x+y-1)(x+2xy+y+x+y+1-2xy)

=(x+y-1)(x+y+x+y+1)

今天的課程到這裡就結束啦，咱們下次課見，記得關注@啊年小課堂哦~

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