中國目前初中數學教育大綱基於以下這個情況，即絕大多數人現實生活中只會用到三年級以下的數學，因此難度下降很大，屬於普遍教育。而高中數學的難度並沒有下降，因此初高中之間的銜接存在著很大的困難。
我曾經遇到過本地區最好的公辦初中的一個學生，她在初中排在年級前20名（年級總共500多學生），但是進入高中後感覺非常吃力，跟不上進度。和她交流後我一句話概括，現在的初中數學要求太低，難度太低。
本系列專題講座的習題和例題都來自各年中考題以及重點高中的自招題，難度高於中考的平均程度，差不多是重點高中的自招難度。
系列裡面許多解題方法和擴展的知識對進入高中後的數學學習是極其必要的補充。
系列的習題和例題都在不斷豐富和更新中。
初中數學培優 七年級下 第九講 因式分解的應用 許多競賽題講解（word格式問題，看下面的圖片也可以）
二、重點難點分析
1. 因式分解的應用極其廣泛，因式分解的實質是把和或差化成積的一種代數變換。應用因式解解決數學問題或實際問題是一種常用的數學基本方法和運算技巧，對後續分式、一元二次方程等知識有很大幫助。本節中主要涉及數的計算、多項式除法、代數的求值或恆等變形以及解一些簡單的二次方程等。
2.因式分解法解方程主要是將方程分解為"A·B=0"的形式，即"若A·B=0，則有A=0
或B=0"。應用因式分解法解決數學問題或實際問題時要注意結合換元法、配方法、待定係數法等重要要的數學方法。
三、例題精選
例1計算：
（1）[(m+n)2-4(m-n)2] ；
（2）[(a-2b)2-4(a-2b)+4]；
解析：(1)的被除式是個平方差形式；（2）的被除式是個完全平方形式。
(1)原式=(3m-n)(3n-m)=3m-n；
(2)原式=2；
例2 解方程
（1）2x2-3x=0；（2）x(2x-3)=4x-6; (3)16(x+1)2=25(x-2)2。
解析：等式兩邊約去同一個因式時，必須考慮該因式是否等於0,否則會漏根.
（1）由原式得x(2x-3)=0
∴x=0或2x-3=0,即x=1.5
即方程的解是x=0或1.5.
（2）由原式移項後化為：（x-2）(2x-3)=0
∴x-2=或2x-3=0；
即方程的解為x=2或1.5.
（3）由原式變形得：[4x+4-5（x-2）][4x+4+5(x-2)]=0;
∴x1=14,x2= 9.
例3 試證明對於任意正奇數n，n2-1是8的倍數。
證明：正奇數可以用2k+1表示，正偶數可以用2k表示，其中k是自然數。涉及到奇數或者偶數的題目，要用這兩個形式來表示奇偶數。
即n=2k+1，n2-1=(n+1)(n-1)
=2k(2k+1)
=4k(k+1).
K、k+1是連續兩個自然數，必然有一個偶數，因此4k(k+1)是8的倍數。
例4如圖,將一張長方形紙板按圖中虛線裁剪成九塊,其中有兩塊是邊長都為m的大正方形,兩塊是邊長都為n的小正方形,五塊是長為m、寬為n的小長方形,且m>n.
(1)觀察圖形,可以發現代數式2m2+5mn+2n2可以因式分解為_;
(2)若每塊小長方形的面積為10,四個正方形的面積之和為58,試求圖中所有裁剪線(虛線部分)長之和。
解答(1)根據大的矩形面積（m+2n）(2m+n)等於陰影部分2個大正方形面積、2個小正方形面積以及5個小矩形面積之和2m2+5mn+2n2。
因此：（m+2n）(2m+n)= 2m2+5mn+2n2.
(2)由題意：2m2+2n2=58,mn=10,
而虛線長度=2（2m+n））+2(m+2n)=6(m+n);
(M+n)2=m2+n2+2mn=29+20=49;
∵m+n>0,∴m+n=7;
即虛線總長度=42.
例5 如果把一個自然數各數位上的數字從最高位到個位依次排出的一串數字,與從個位到最高位依次排出的一串數字完全相同,我們就把這樣的自然數叫做"和諧數",例如:自然數64746從最高位到個位排出的一串數字是6,4,7,4,6,從個位到最高位排出的一串數字也是6,4,7,4,6;所以64746是和諧數.再如:33,181,212,4664等都是"和諧數".
(1)請你直接寫出3個四位數的"和諧數",猜想任意一個四位數的"和諧數"能否被11整除,並說明理由。
(2)已知一個能被11整除的三位數的"和諧數",設個位上的數字為x(14,x為自然數),十位上的數字為y,寫出y與x之間的關係式(用x表示y).
解析：
（1）任意四個和諧數：1111,2222,3333；猜想可以被11整除。
由題意，這個四位數可以表示為abba的形式，a為1-9的自然數，b為0-9的自然數，其值為a(1000+1)+b(100+10)=1001a+110b=11*99a+11*10b=11(99a+10b),所以任意一個四位數的和諧數都可以被11整除。
（2）由題意，這個三位數的和諧數可以表示為xyx，則
值=101x+10y
=99x+11y+2x-y
由題意2x-y可以被11整除。即2x-y的取值是0,11,22......等
且14，
∴2x-y=0
即y=2x
例6、已知整數a、b滿足6ab=9a-10b+16,求a+b的值。
解析：
常規的思路，把a當做常數，求出b，然後代入a+b後求值。
b=,分子3a+6是個變量，這種思路做不了。
嘗試因式分解：
移項後得 6ab-9a+10b=16
分解成A*B=C的形式，其中A、B是兩個因式，C是一個常數。
（2b-3）(3a+5)=1;
或者，
解得；（另外一組解是非整數，捨去）
∴a+b=-1。
例7 有兩個多項式M=2x2+3x+1,N=4x2-4x-3,則M和N的公因式是。
A. x+1 B.x-1 C.2x-1 D.2x-1
解：方法1、把M、N進行因式分解；這裡不再講解。
方法2：用輾轉相除法。（
（1）以次數較高的多項式A作為被除式，次數較低的多項式B作為除式；
（2）兩個多項式次數相等時以最高次係數大的A為被除式，係數小者B為除式；
（3）用長除法相除，得到餘式C。
（4）以第一步的除式B為被除式，第一步中所得餘式C為除式，繼續循環，直到餘式次數低於除式次數。小學求最大公約數也有這個方法。
N=2M-10x-5
=2M-5（2x+1）
M、N的公因式必然也是-5（2x-1）的因式，所以答案選C。
四、練一練
1、 試說明：523-521能被120整除。
2、a、b、c是△ABC的三邊長，求證（a2+b2-c2）2 – 4a2b2<0.
3、已知a、b、c是△ABC的三邊長，且滿足a3+ab2+bc2=b3+a2b+ac2，則三角形的形狀：
A 等腰三角形 B 直角三角形
C等腰三角形或直角三角形 D 等腰直角三角形。
4、求方程5x2+5y2+8xy+2y-2x+2=0的實數根。
5、按下面的規則擴充新數:已有a和b兩個數,可按規則c=ab+a+b擴充一個新數,而a,b,c三個數中任取兩個數,按規則又可擴充一個新數,……,每擴充一個新數叫做一次操作,現有數2和3.
(1)求按上述規則操作三次得到擴充的最大新數;
(2)能否通過上述規則擴充得到新數5183?並說明理由。
6、試證明4個連續整數之積加上1是一個完全平方數。
7、三個正實數a、b、c滿足,求a+b+c的值。
答案：
1、523-521=521（52-1）=520*5*24=120*520。
2、（a2+b2+c2）2 – 4a2b2=（a2+b2-c2+2ab）(a2+b2+c2-2ab)
=[（a+b）2-c2][(a-b)2-c2]
=(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c)
a-b-c<0,其餘三項大於0，命題得證。
3、a、b對稱，所以肯定是等腰三角形，而且（a=b）是a3+ab2+bc2=b3+a2b+ac2的解。
從這個角度著手分解因式。
移項(a3-b3)+ab(b-a)+c2(b-a)=0
∴(a-b)(a2+ab+b2-ab-c2)=0
∴a=b 或者a2+b2=c2（） 選C.
4、5x2+5y2+8xy+2y-2x+2=0 （很明顯，特殊值x=1，y=-1是方程的一組解）
方法一常規思路：一個方程，2個未知數，可以採用配方法求值。
0=5x2+5y2+8xy+2y-2x+2
=5（x2-x）+5y2+2y+2
=5(x-)2-5()2+5y2+2y+2
=5(x-)2+y2+y+
=5(x-)2+2
即y=-1，x==1；
方法2、直接配方法，已經看出x=1，y=-1是方程根，先配出(x-1)2+(y+1)2，剩下4x2+4y2+8xy=4（x+y）2,得解。
5、c=（a+1）(b+1)-1
(1)每次取其中最大的兩個數，得到的數最大，第一次得11，第二次47，第三次575.
（2）假設能得到C=5183，那麼c+1=5184=43*34；
c=（a+1）(b+1)-1即c+1=（a+1）（b+1），如果用c和b構造新數d，那麼d+1=(b+1)(c+1)=(a+1)(b+1)2;如果用c和a構造新數e，同理可得e+1=(a+1)2(b+1);
總之，對於構造出來的新數x，存在x+1=（a+1）m(b+1)n=3m4n,m、n是自然數。而5184滿足這個特徵，因此5183可以構造出來。
當然，這個題目也可以直接用數字湊出來。
6、證明:
設這4個數的乘積+1=(x-1)x(x+1)(x+2)+1
=(x2+x-2)(x2+x)+1
=(x2+x)2-2(x2+x)+1
=(x2+x-1)2.（結果出來後用一組特殊值驗證一下，比如1,2,3,4，則x=2）
7、a、b、c對稱，因此考慮三個式子相加
（a+b+c）+a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=72;
a+b+c+(a+b+c)2-72=0
(a+b+c+9)(a+b+c-8)=0
∵a、b、c都是正數，∴a+b+c+9>0；
∴a+b+c=8