中國目前初中數學教育大綱基於以下這個情況，即絕大多數人現實生活中只會用到三年級以下的數學，因此難度下降很大，屬於普遍教育。而高中數學的難度並沒有下降，因此初高中之間的銜接存在著很大的困難。
我曾經遇到過本地區最好的公辦初中的一個學生，她在初中排在年級前20名（年級總共500多學生），但是進入高中後感覺非常吃力，跟不上進度。和她交流後我一句話概括，現在的初中數學要求太低，難度太低。
本系列專題講座的習題和例題都來自各年中考題以及重點高中的自招題，難度高於中考的平均程度，差不多是重點高中的自招難度。
系列裡面許多解題方法和擴展的知識對進入高中後的數學學習是極其必要的補充。
系列的習題和例題都在不斷豐富和更新中。
二、重點難點分析
1. 解分式方程的基本思路是把分式方程轉化為整式方程，所以解分式方程的第一步就是去分母，利用等式的性質將方程兩邊乘以最簡公分母，找最簡公分母前要將能因式分解的分號因式分解。
2.由於解分式方程去分母時兩邊同乘以含未知數的整式(即最簡公分母)，當這個整式不為零時，所得的整式方程與原方程同解；當所乘的整式為零時，求出的解是原方程的增根。所以解分式方程最後必須將解代入最簡公分母檢驗，增根必定使最簡公分母的值為零。
3.列分式方程解應用題的步驟類似於列一元一次方程解應用題。
4.解含字母係數的分式方程(公式變形)時，其解法、步驟與數字係數的分式方程相同,把部分字母當作常數來處理即可。
5.列分式方程解應用題時關鍵要學會用分式來表示題中的數量關係，並且結果要檢驗；既要檢驗是不是增根，又要檢驗是不是符合實際意義。
6、難點：增根通過檢驗是可以排除，最怕的是漏根。在實際解分式方程的過程中，由於一些運算的技巧要求，會產生新的分母，導致未知數的定義域產生變化，最後漏根。此時就需要補根。詳見例7.
三、例題精選
例1 解下列分式方程
（1） ;
（2）；
解答：題（1）可以把方程右邊的負號移入分母，變形為,因此最簡公分母就是x-3，同理題（2）的公分母就是6x-2;
（1）方程兩邊同乘以x-3，則2-x=x-3+1，解得x=2；
經檢驗，x=2是原方程的根。
（2）方程兩邊同乘以6x-2則1=3x-1+4;
解得x=。
經檢驗，x=是原方程的根。
例2 如果關於x的方程無解，求m的值。
解析：分式方程無解有兩種情況：①通分後形成的整式方程無解，即最後變形為ax=b的形式時，a=0，b≠0；②通分後形成的整式方程有解，但是這個解是增根。
原方程兩邊都乘以x-3，得
m+7x-21=4-x;
整理後得8x=25-m；③
不屬於第一種情況；那麼屬於第二種情況：方程③的解是原方程的增根，
即x=3，代入後得m=1。
例3 數軸上有A、B兩點，它們對應的數分別是。
（1）當x=1.5時，求線段AB的長。
（2）若點A到原點的距離比點B到原點的距離多3，求x的值。
解析：
（1）把x=1.5代入兩個分式得到A、B兩點的坐標，相減即可
A：-4，B：-1，∴AB=-1-（-4）=3；
（2）這個題目要進行分類討論，A可能在原點左側、右側，B點也可能在原點左側、右側，為了簡化討論，我們採用絕對值的幾何意義來輔助計算。A點坐標的絕對值即為A點到原點距離，同理B點坐標。
|；
方程兩邊同時乘以|x-2|,得;
2=|x-1|+3|x-2|;
零點分段法：
當x時，原方程化為2=x-1+3x-6,解得x=2.25
當1時，原方程化為：2=x-1+6-3x，解得x=1.5;
當x時，原方程化為：2=1-x+6-3x，解得x=1.25捨去。
經檢驗x1=2.25，x2=1.5符合題意。
例4某已知紅、綠兩個車隊在距上海3000km處會合,並同時向上海進發,綠隊行駛了2000km時,紅隊行駛了1800km.隨後,紅隊的速度比原來提高20%,兩個車隊繼續同時向上海進發。
(1)求紅隊提速前紅、綠兩個車隊的速度比;
(2)紅、綠兩個車隊能否同時到達上海?並說明理由;
(3)若紅、綠兩個車隊不能同時到達,則哪個車以先到達上海?求第一個車隊到達上海時兩個車隊間的距離。
解析：
(1)可根據綠隊行駛2000km時,紅隊行駛1800km用的時間相等直接求出比例關係;
∵紅綠兩隊行駛時間相等，∴紅綠兩隊速度比=；
(2)設而不求的方法，設綠隊的車速為v km/h，那麼紅隊開始速度= km/h，提速後紅隊速度= km/h，只要判斷紅隊行駛1200公裡和綠隊行駛1000公裡，誰用的時間長即可。
T綠隊=小時，T紅隊=綠隊，因此不能同時到達上海。
（3）由題2可知，綠隊先到。
此時兩個車隊的距離即紅隊離上海的距離：1200-1.08=120公裡。
本題我沒有使用分式方程的方法，因為那樣做太麻煩了。解答時還要不同情況不同分析，選擇最簡便的方法。
例5 通過觀察,發現不難求得方程x+=3+的解是x1=3,x2=;x+=4+
的解是x1=4.x2=;x+=5+解是x1=5,x2=;
(1)觀察上述方程及其解,可猜想關於x的方程x+=a+的解是；
(2)試驗證:x1=a-1,x2=都是方程x+=a-1+的解;
(3)利用你豬想的結論,解關於x的方程=a+.
解析：
(1)根據閱讀材料,導找規律,即可求出方程的解;
X1=a,x2=.
(2)利用方程的解的概念進行驗證,就是把解代入方程,看等式是否成立;
略。
(3)注意此方程和閱讀材料中提供的方程的形式並不一樣,因此,要把它化成x-1+=a-1+,再把x-1,a-1看作一個整體來解方程。
=x-1+-= x-1+= a+①
∴x-1+；
有材料知道(x-1)1=a-1即x1=a；（x-1）2=，即x2=.
①過程的變形不太直接，我們可以設y=x-1，則x=y+1代入原方程得：
,然後移項改造成與材料中一致的方程。
例6已知，；...
+...+=)=;
上述求和的想法是通過逆用分式減法法則,將和式中的各分數轉化為兩個數之差,使得除首末兩項外的中間各項可以相互抵消,從而達到求和的目的;
（1）按題目中的規律，寫出第六項和第n項的表達式。
（2）受此啟發,請你解下面的方程:
解答：
（1）第6項，第n項：.
（2）由材料方法，原方程直接化簡為
方程兩邊同時乘以6x(x+9)得，2x+18-2x=9x,解得x=2
經檢驗x=2是原方程的根。
例7，關於漏根的說明。
閱讀材料，解方程x2-1=x-1.
方法一、方程兩邊同時除以x-1，得;
兩邊整理後得，x+1=1,所以x=0.
方法二、但是事實上，方程有兩個根：0或1，
原方程移項後得x2-x=0;
X(x-1)=0;
∴x=0或x=1.
很明顯，方法一漏掉了x=1這個根，那麼是什麼原因導致漏根的呢？
原因出在了方程兩邊同除以x-1，這個運算默認x，導致最終解丟了x=1這個根。
在解方程的過程中，我們為了降冪，有時候在方程兩邊同時除以一個因式，此時就必須判斷此因式是否可能等於0.如果有值令此因式等於零，那麼這個值必然是原方程的一個根，必須補回來。
四、練一練
1、5月初，持續強降雨的惡劣天氣造成部分地區出現嚴重的洪澇災害，某愛心組織緊急籌集了部分資金，計劃購買甲、乙兩種救災物品共2000件送往災區，已知每件甲種物品的價格比每件乙種物品的價格貴10元，用350元購買甲種物品的件數檢好與用300元購買乙種物品的件數相同。
(1)甲、乙兩種救災物品每件的價格各是多少元?
(2)經調查，災區對乙種物品件數的需求量是甲種物品件數的3倍，若該愛心組織按照此需求的比例購買這2000件物品，需籌集資金多少元?
2.甲、乙兩同學玩"託球賽跑"遊戲,商定：用球拍託著丘兵球從起跑線A起跑，繞過B點跑回到起跑線(如圖)。途中丘兵球掉下時須撿起並回到掉球處繼續賽跑，用時少者勝。結果：甲同學由於心急掉了球，浪費了6s，乙同學則順利跑完。事後，甲同學說:"我倆所用的全部時間的和為50s."乙同學說:"撿球過程不算在內時，甲的速度是我的1.2倍".根據圖文信息，請問哪位同學獲勝?
3. .今年參加數學競賽的人數比去年增加了30%，其中男生增加了20%，女生增加了50%，設今年參加競賽的總人數為a，其中男生人數為b，求.
4、甲、乙、丙三人同時由A地出發去B地。甲騎自行車到C地(C是A,B之間的某地)，然後步行；乙先步行到C地，然後騎自行車；丙一直步行。結果三人同時到達B地。已知甲步行的速度是7.5km/h；乙步行的速度是5km/h。甲、乙騎自行車的速度都是10km/h，那麼丙步行的速度是多少？
5、一個容器裝有1L水，按照如下要求把水倒出：第1次倒出L水，第2次倒出的水量是L的，第3次倒出的水量是L的，第4次倒出的水量是L的……，第n次倒出的水量是L的.......，按照這種倒水的方法，這1L水經多少次可以倒完?.
6、某商場在一樓和二樓之間安裝了一自動扶梯，以均勻的速度向上行駛，一男孩和一女孩同時從自動扶梯上走到二樓(扶梯行駛，兩人也走梯)。如果兩人走梯的速度都是勻速的，每次只跨1級，且男孩每分鐘走動的級數是女孩的2倍。已知男孩走了27級到達扶梯頂部，而女孩走了18級到達頂部。
(1)扶梯露在外面的部分有多少級?
(2)若扶梯旁有一從二樓下到一樓的樓梯道，臺階的級數與自動扶梯的級數相等，兩個孩子各自到扶梯頂部後按原速度再下樓梯，到樓梯底部再乘自動扶梯上樓(不考慮扶梯與樓梯間的距離)。求男孩第一次追上女孩時走了多少級臺階。
7、解方程：|x|=。
8、解方程.
答案:
1、設甲單價x元，乙單價x-10元
（1），解得x=70，x-10=60
（2）乙需要1500件，甲需要500件，總共籌款125000元。
2、設甲花了x秒，則乙花了（50-x）秒，去掉撿球時間甲花了(x-6)秒。
由題意： 解得x=26 秒，50-x=24秒，乙獲勝。
3、由題意，去年男生人數：，今年女生人數：a-b，去年女生人數：,
由題意a=（1+30%）（），把a當做常數，解得24a=39b,即=.
4、前面的條件和丙無關，只要考慮甲乙即可。
設甲騎車時間為x小時，步行時間為y小時，則AC的距離為10x km，BC的距離為7.5y km，
由題意：x+y=+,解得y=4x。
丙的速度：=8km/h
設而不求的思想。
5、第一次倒出
第二次倒出：L
第三次倒出：L
...
第n次倒出：L
把這些倒出的水相加看能否等於1L即可
=，
即這杯水永遠也倒不完。
6、設而不求的方法
（1）設女孩步速為x，則男孩步速為2x，扶梯速度為y，扶梯露在外面S級
由題意：女孩走的級數為=18①，男孩走的級數為=27②;
②①得y=2x S=54
（2）因為上樓和下樓的速度不一樣，因此分類討論可以簡化題目
①設男孩經過n圈後，在自動扶梯m級處追上女孩。那麼此時女孩繞了n-1圈。
男孩自動扶梯共走（含自動扶梯）54n+m，下樓梯走了54n級，
男孩上樓梯的速度（含自動扶梯）為4x，下樓梯的速度為2x；
女孩自動扶梯走（含自動扶梯）為54（n-1）+m，下樓梯走了54（n-1）級；
女孩上樓梯速度（含自動扶梯）為3x，下樓梯速度為x；
由題意兩者用時相等：
方程兩邊都乘以12x，整理得：378n+m=228
n>1,0,m、n都是整數，所以無解。
②設男孩經過n圈後，在下樓梯m級處追上女孩。那麼此時女孩繞了n-1圈。
男孩自動扶梯共走（含自動扶梯）54n+54，下樓梯走了54n+m級，
男孩上樓梯的速度（含自動扶梯）為4x，下樓梯的速度為2x；
女孩自動扶梯走（含自動扶梯）為54n，下樓梯走了54（n-1）+m級；
女孩上樓梯速度（含自動扶梯）為3x，下樓梯速度為x；
由題意兩者用時相等：
方程兩邊同乘以12x，整理後得：63n+m=135，解得n=2，m=9
此時男孩共走了27*3（上）+54*2+9（下）=198
7、方程兩邊都乘以x，再分類討論
當x；x2-4=3x，x=-1（捨去）或x=4
當x：-x2-4=-3x，無解。
經檢驗x=4是原方程根。
8、分析分式方程特徵：
方程兩邊分別通分(分子整理後成為常數項)：=
整理後得=；
即（x+4）(x+5)=(x+2)(x+3)
9x+20=5x+6
解得x=3.5