第6講 一元一次方程與分式方程及其應用
考點分析
1．一元一次方程及解法
（1）等式的性質
性質1：等式兩邊加(或減)同一個數或同一個數或者代數式，所得結果仍是等式；
性質2：等式兩邊乘(或除以)同一個數或代數式(除數不能為0)，所得結果仍是等式．
（2）方程的概念
含有未知數的等式叫做方程.
（3）方程的解
使方程左右兩邊的值相等的未知數的值叫做方程的解．
（4）一元一次方程
只含有1個未知數，且未知數的最高次數是1的整式方程，叫做一元一次方程．
（5）一元一次方程的解法
解一元一次方程的一般步驟：去分母、去括號、移項、合併同類項、係數化為1.
2.分式方程及解法
（1）分式方程
分母裡含有未知數的方程叫做分式方程．
（2）分式方程的解法
解分式方程的基本思路是將分式方程轉化為整式方程，
具體步驟是：①去分母，在方程的兩邊都乘以最簡公分母，化成整式方程；
②解這個整式方程；
③驗根，把整式方程的根代入最簡公分母，如果不等於0 ，則整式方程的解是原分式方程的解；否則，這個解不是原分式方程的解．
3.列方程解應用題的一般步驟
（1）審：審清題意和數量關係，弄清題中的已知量和未知量，明確各數量之間的關係．
（2）設：設未知數(可設直接或間接未知數).
（3）列：根據題意尋找等量關系列方程．
（4）解：解分式方程
（5）答：檢驗所求的未知數的值是否符合題意(分式方程既要檢驗求出來的解是否為原方程的根，又要檢驗是否符合題意)，寫出答案．
思想方法
基本思想：
解分式方程的基本思想：把分式方程轉化為整式方程，即分式方程去分母轉化為整式方程．
基本方法：
1.分式方程無解有可能是兩種情況：一是去分母后的整式方程無解；二是整式方程有解，但整式方程的解使最簡公分母為0，分式方程也無解.
2.列方程的關鍵是尋找等量關係，尋找等量關係常用的方法有：①抓住不變量；②找關鍵詞；③畫線段圖或列表格；④運用數學公式．
真題精選
1、（2018通遼）一商店以每件150元的價格賣出兩件不同的商品，其中一件盈利25%，另一件虧損25%，則商店賣這兩件商品總的盈虧情況是（ ）
A．虧損20元 B．盈利30元 C．虧損50元 D．不盈不虧
【分析】設盈利的商品的進價為x元，虧損的商品的進價為y元，根據銷售收入﹣進價=利潤，即可分別得出關於x、y的一元一次方程，解之即可得出x、y的值，再由兩件商品的銷售收入﹣成本=利潤，即可得出商店賣這兩件商品總的虧損20元．
【解答】解：設盈利的商品的進價為x元，虧損的商品的進價為y元，
根據題意得：150﹣x=25%x，150﹣y=﹣25%y，
解得：x=120，y=200，
∴150+150﹣120﹣200=﹣20（元）．
故選：A．
2、（2018南通模擬）籃球比賽規定：勝一場得3分，負一場得1分，某籃球隊共進行了6場比賽，得了12分，該隊獲勝的場數是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】設該隊獲勝x場，則負了（6﹣x）場，根據總分=3×獲勝場數+1×負了的場數，即可得出關於x的一元一次方程，解之即可得出結論．
【解答】解：設該隊獲勝x場，則負了（6﹣x）場，
根據題意得：3x+（6﹣x）=12，
解得：x=3．
答：該隊獲勝3場．
故選：B．
例題精講
類型一 等式性質和方程的解的含義
【解後感悟】(1)熟記等式的性質並根據等式的性質求解是解題關鍵；(2)本題利用方程的思想，通過方程的解來構造關於a的一元一次方程，求出a值；(3)本題是分式方程的解和解一元一次不等式，關鍵是得出n－2＜0和n－2≠－0.5，注意題目中的隱含條件2x＋1≠0不要忽略．
類型二 一元一次方程的解法
【解後感悟】(1)去分母，方程兩邊同乘各分母的最小公倍數時，不要漏乘沒有分母的項(尤其是常數項)，若分子是多項式，則要把它看成一個整體加上括號；(2)去括號可用分配律，注意符號，勿漏乘．
類型三 分式方程的解法
【解後感悟】此題考查了分式方程的無解情況，分式方程無解問題需要分類討論：（1）化簡為整式方程，整式方程無解；（2）分式方程產生增根。產生增根可按如下步驟進行：①讓最簡公分母為0確定增根；②化分式方程為整式方程：③把增根代入整式方程即可求得相關字母的值．
【解後感悟】解分式方程的基本思想是「轉化思想」，把分式方程轉化為整式方程求解．解分式方程一定注意要驗根．
類型四 一元一次方程和分式方程的應用
例題5、（2018宜賓）我市經濟技術開發區某智慧型手機有限公司接到生產300萬部智慧型手機的訂單，為了儘快交貨，增開了一條生產線，實際每月生產能力比原計劃提高了50%，結果比原計劃提前5個月完成交貨，求每月實際生產智慧型手機多少萬部．
【分析】設原計劃每月生產智慧型手機x萬部，則實際每月生產智慧型手機（1+50%）x萬部，根據工作時間=工作總量÷工作效率結合提前5個月完成任務，即可得出關於x的分式方程，解之經檢驗後即可得出結論．
【解後感悟】此題主要考查了分式方程的應用，此題關鍵是正確理解題意，找到合適的等量關係，列出方程．注意不要忘記檢驗．
方法總結（表格法）
表格法解分式方程的應用題
例題6、（2018曲靖）甲乙兩人做某種機械零件，已知甲每小時比乙多做4個，甲做120個所用的時間與乙做100個所用的時間相等，求甲乙兩人每小時各做幾個零件？
【分析】設甲每小時做x個零件，則乙每小時做（x﹣4）個零件，根據工作時間=工作總量÷工作效率 列出下面表格：
【解後感悟】表格法更適合初學者或者基礎不紮實的學生。使用表格法時，首先應該弄清楚題中的公式：工作總量=工作效率×工作時間。按照如圖表格填空，最後填的是工作時間，然後根據題目中提供的等量關係（工作時間相等）列出方程。
專題小結
一元一次方程與分式方程均屬於中考的必會知識。單獨考方程一般是在選擇填空題以及解答題的第1、2題，難度係數非常的低。考生在備考時應注意，計算要正確，解答題要詳略得當。特別是分式方程，一定要驗根。
而一元一次方程以及分式方程的應用題，考查內容無非那幾個常見的專題：和差倍分問題、工程問題、行程問題、經濟問題、積分問題等基礎題型。解決這類題型時一定要注意找準等量關係，一般情況按順序列方程準確率更高。基礎不紮實的同學平時訓練時可以先列表格，然後按表格列出方程不失為一種好方法。
易錯警示：【解分式方程去分母時，漏乘整式項，忘記驗根（應用題也要驗根）】