第37講 方程、函數思想型問題（含壓軸題）
考點分析
一、內容特性
1.在解決問題時，把某一個未知量或幾個未知量用字母來表示，根據已知的條件或有關的性質、定理或公式，建立起未知量和已知量之間的等量關係，列出方程或方程組，從而使問題獲得解決的思想方法稱為方程思想．
2．函數思想是指用變量和函數來思考問題的一種方法，藉助函數知識來探求變量之間關係的一種思維方式，以生產、生活和學科問題為背景，結合方程、幾何圖形等知識進行問題解決的一種解題策略，是刻畫現實世界的一個有效的數學模型.
二、解題策略
(1)解決函數綜合問題時，注意數形結合，在函數、方程、不等式之間靈活轉化；
(2)解決幾何綜合問題時，常從面積關係，勾股定理、相似性質尋求關系列方程、函數求解；
(3)解決生活中應用問題時，從一些常見數量關係模型入手，建立方程、函數求解；
(4)對於一個實際問題或數學問題，構建一個相應的函數，抓住事物在運動過程中那些保持不變的規律和性質，運用函數基本性質和方法，從而更快更好地解決問題.
思想方法
利用方程思想解決問題時，經常涉及函數思想和數形結合思想；利用函數思想解決問題時，充分運用函數數學思想分析問題，經常涉及函數與方程、不等式，函數與圖象.
例題講解
類型一 運用方程思想求解幾何綜合性問題
例題1、如圖，在△ABC中，BA＝BC＝20 cm，AC＝30 cm，點P從點A出發，沿AB以每秒4 cm的速度向點B運動；同時Q點從C點出發，沿CA以每秒3 cm的速度向點A運動．設運動的時間為x秒．
(1)當x為何值時，PQ∥BC?
(2)△APQ能否與△CQB相似？若能．求出AP的長；若不能．請說明理由．
【解後感悟】由相似三角形的對應邊成比例，可列出分式方程，從而求解；在已知一個角對應相等的前提下考慮兩個三角形相似時，有兩種情況，不可遺漏．
類型二 運用函數思想求解方程、不等式問題
例題2、(2017·杭州)在平面直角坐標系中，設二次函數y1＝(x＋a)(x－a－1)，其中a≠0.
(1)若函數y1的圖象經過點(1，－2)，求函數y1的表達式；
(2)若一次函數y2＝ax＋b的圖象與y1的圖象經過x軸上同一點，探究實數a，b滿足的關係式；
(3)已知點P(x0，m)和Q(1，n)在函數y1的圖象上，若m＜n，求x0的取值範圍．
【解後感悟】二次函數關係式轉化為方程，解(1)的關鍵是利用待定係數法；解(2)的關鍵是把點的坐標代入函數解析式；解(3)的關鍵是利用二次函數的性質，解不等量關係，同時要分類討論，以防遺漏．
類型三 運用方程、函數思想求解幾何最值問題
例題3、(2016·黃岡模擬)如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，現將一塊邊長足夠大的直角三角板的直角頂點置於AB的中點O，兩直角邊分別經過點B、C，然後將三角板繞點O按順時針方向旋轉一個角度α(0°<α<90°)，旋轉後，直角三角板的直角邊分別與AC、BC相交於點K、H, 四邊形CHOK是旋轉過程中三角板與△ABC的重疊部分(如圖所示)，那麼，在上述旋轉過程中：
(1)線段BH與CK具有怎樣的數量關係？四邊形CHOK的面積是否發生變化？證明你發現的結論；
(2)連結HK，設BH＝x.
①當△CKH的面積為2.5時，求出x的值；
②試問△OHK的面積是否存在最小值，若存在，求出此時x的值，若不存在，請說明理由．
【解後感悟】本題利用方程、函數思想把問題構建為方程、函數模型，再用方程、函數知識來解決問題．解題的關鍵是根據題意列出方程、函數關係式．
類型四 運用方程、函數思想求解三角形、四邊形與圓問題
例題4、(2015·汕尾)如圖，已知直線y＝－x＋3分別與x、y軸交於點A和B.
(1)求點A、B的坐標；
(2)求原點O到直線l的距離；
(3)若圓M的半徑為2，圓心M在y軸上，當圓M與直線l相切時，求點M的坐標．
【解後感悟】此題屬於一次函數綜合題，涉及的知識有：坐標與圖形性質，一次函數與坐標軸的交點，相似三角形的判定與性質，以及點到直線的距離公式，藉助這些知識，再利用方程、函數思想來解決問題．以此設計問題在中考中出現的頻率很高，是中考中比較典型的題型．
類型五 運用方程、函數思想求解實際問題
例題5、某電子廠商投產一種新型電子產品，每件製造成本為18元，試銷過程中發現，每月銷售量y(萬件)與銷售單價x(元)之間的關係可以近似地看作一次函數y＝－2x＋100.(利潤＝售價－製造成本)
(1)寫出每月的利潤z(萬元)與銷售單價x(元)之間的函數關係式；
(2)當銷售單價為多少元時，廠商每月能獲得350萬元的利潤？當銷售單價為多少元時，廠商每月能獲得最大利潤？最大利潤是多少？
(3)根據相關部門規定，這種電子產品的銷售單價不能高於32元，如果廠商要獲得每月不低於350萬元的利潤，那麼製造出這種產品每月的最低製造成本需要多少萬元？
【解後感悟】本題是通過方程、函數思想解決實際問題，一是通過方程思想列函數解析式，二是通過函數思想解決變量間關係．
熱點題型
例題6、在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，P是BC上的任意一點(P與B、C不重合)，過點P作AP⊥PE，垂足為P，PE交CD於點E.
(1)連結AE，當△APE與△ADE全等時，求BP的長；
(2)若設BP為x，CE為y，試確定y與x的函數關係式．當x取何值時，y的值最大？最大值是多少？
(3)若PE∥BD，試求出此時BP的長．
專題小結
方程、函數思想是解決壓軸題的一類必須掌握的思想方法。