第22講 正方形的性質與判定（含壓軸題）
考點分析
1、正方形的定義：有一組鄰邊相等，並且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形。
2、正方形的性質：（1）正方形的四條邊相等；（2）正方形的四個角都是直角；（3）正方形的對角線互相平分且相等，並且每條對角線平分一組對角；（4）正方形是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形；對稱中心為對角線的交點。
3、正方形的判定：
4、平行四邊形、矩形、菱形以及正方形之間的關係
思想方法
基本思想：
正方形的判定可簡記為：菱形＋矩形＝正方形，其證明思路有兩個：先證四邊形是菱形，再證明它有一個角是直角或對角線相等(即矩形)；或先證四邊形是矩形，再證明它有一組鄰邊相等或對角線互相垂直(即菱形)．
真題精選
例題精講
類型一、正方形的性質
【解後感悟】根據軸對稱圖形的性質，解決問題即可；
【解後感悟】分等邊△ADE在正方形的內部和外部兩種情況分別求解可得．
【解後感悟】結合全等三角形的性質可以求得點G的坐標，再由正方形的中心對稱的性質求得點F的坐標．
【解後感悟】（1）根據正方形的性質和全等三角形的判定證明即可；
（2）四邊形AECF是菱形，根據對角線垂直的平行四邊形是菱形即可判斷；
【解後感悟】（1）利用正方形的性質得出AD=AB，∠DAB=∠ABC=90°，即可得出結論；
（2）利用（1）的結論得出∠ADF=∠BAE，進而求出∠ADF+∠DAO=90°，最後用三角形的內角和定理即可得出結論．
類型二、正方形的判定
例題7、（2018湘西州）下列說法中，正確個數有（ ）①對頂角相等；②兩直線平行，同旁內角相等；③對角線互相垂直的四邊形為菱形；④對角線互相垂直平分且相等的四邊形為正方形．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【解答】解：①對頂角相等，故①正確；②兩直線平行，同旁內角互補，故②錯誤；③對角線互相垂直且平分的四邊形為菱形，故③錯誤；④對角線互相垂直平分且相等的四邊形為正方形，故④正確，故選：B．
【解後感悟】根據對頂角的性質，菱形的判定，正方形的判定，平行線的性質，可得答案．
類型三、與正方形有關的壓軸題
【解後感悟】根據題意推知EF∥AD，由該平行線的性質推知△AEH∽△ACD，結合該相似三角形的對應邊成比例和銳角三角函數的定義解答．
【解後感悟】根據正方形的四條邊都相等可得AB=AD，每一個角都是直角可得∠BAE=∠D=90°，然後利用「邊角邊」證明△ABE≌△DAF得∠ABE=∠DAF，進一步得∠AGE=∠BGF=90°，從而知GH=0.5BF，利用勾股定理求出BF的長即可得出答案．
【解後感悟】
根據正方形的四條邊都相等可得AB=AD，每一個角都是直角可得∠BAE=∠D=90°，然後利用「邊角邊」證明△ABE≌△DAF得∠ABE=∠DAF，進一步得∠AGE=∠BGF=90°，從而知GH=
0.5BF，利用勾股定理求出BF的長即可得出答案．
【解後感悟】（1）通過證明△ABF≌△DEA得到BF=AE；
（2）設AE=x，則BF=x，DE=AF=2，利用四邊形ABED的面積等於△ABE的面積與△ADE的面積之和得到0.5xx+0.5x2=24，解方程求出x得到AE=BF=6，則EF=x﹣2=4，然後利用勾股定理計算出BE，最後利用正弦的定義求解．
【解後感悟】本題是三角形與四邊形綜合問題，涉及全等三角形、平行四邊形、矩形、正方形的判定與性質．解題的關鍵是利用全等三角形的對應邊相等進行線段的等量代換，從而求證出平行四邊形．
專題小結
正方形是中考必考知識，複習時重點記憶「矩形+菱形=正方形」！
正方形常常出現在選擇填空的最後一題，難道較大，複習時注意正方形的綜合運用！