第11講一次函數及其圖像
考點分析
1.一次函數與正比例函數的概念
2.一次函數的圖像
3.一次函數y=kx+b的性質
4.確定一次函數的解析式
5.一次函數與方程、不等式的關係
6.一次函數的實際應用
建模思想:將實際問題轉化為數學問題,即數學建模.要做到這種轉化,首先要分清哪個量是自變量,哪個量是函數;其次建立函數與自變量之間的關係,要注意自變量的取值範圍。
一次函數在實際問題中的應用:在實際問題中,可以根據自變量的取值求函數,或者由函數求自變量的值.由於自變量的取值範圍一般受到限制,所以可以根據一次函數的性質求出函數在某個範圍的最值.
思想方法
基本思想:
1.待定係數法,是求一次函數解析式的常用方法,一般是先設待求的函數關係式(其中含有未知常數),再根據條件列出方程或方程組,通過解方程或方程組,求出未知係數,從而得到所求函數解析式的方法.
2.利用函數圖像解決實際問題時,要注意仔細分析圖像中各點的含義,尤其是圖像與圖像或坐標軸的交點,要善於運用數形結合思想從圖像中獲取有用的信息.
真題精選
例題精講
類型一 一次函數的圖像和性質
例題1、一次函數y=2x+6.
(1)圖像經過第________象限;
(2)圖像與x軸的交點坐標為________,與y軸的交點坐標為________.
(3)當-1<x≤1時,y的取值範圍是________;
(4)當點A(-5,y1)和B(-2,y2)都在圖像上,則y1與y2的關係是________;
(5)圖像與兩坐標軸圍成的三角形面積是________.
【解後感悟】一次函數的圖像與性質問題,數形結合思想是解題的關鍵.
例題2、如圖,已知直線l1:y=-2x+4與x,y軸分別交於點N,C,與直線l2:y=kx+b(k≠0)交於點M,直線l2與x軸的交點為A(-2,0),
(1)若點M的橫坐標為1,則△AMN的面積是________;
(2)若點M在第一象限,則k的取值範圍是____________.
【解後感悟】兩條直線的相交問題,利用數形結合和圖像的運動來解決.
類型二 一次函數的解析式
例題3、(1) 如圖,一直線與兩坐標軸的正半軸分別交於A,B兩點,P是線段AB上任意一點(不包括端點),過P分別作兩坐標軸的垂線與兩坐標軸圍成的矩形的周長為10,則該直線的函數表達式是____________.
(2)一次函數y=2x+b與兩坐標軸圍成三角形的面積為4,則b=________.
(3)已知一次函數圖像交x軸於點(-2,0),與y軸的交點到原點的距離為5,則該一次函數解析式為___________________________________________________________.
(4)在平面直角坐標系xOy中,已知一次函數y=kx+b(k≠0)的圖像過點P(1,1),與x軸交於點A,與y軸交於點B,且tan∠ABO=3,那麼點A的坐標是__________.
例題4、已知直線l:y=2x-1
(1)將直線l向上平移5個單位長度後再向左平移3個單位後所得的直線解析式為____________;
(2)將直線l與直線m關於x軸對稱,則直線m的解析式為____________;
(3)將直線l繞原點順時針旋轉90°得到直線n,則直線n的解析式為______________.
【解後感悟】(1)求直線平移後的解析式時要注意平移時k的值不變,只有b發生變化;(2)根據平面直角坐標系中,點關於x軸對稱的特點求解;(3)根據點(a,b)繞原點順時針旋轉90°得到的點的坐標是(b,-a),得到它們繞原點順時針旋轉90°以後對應點的坐標,然後根據待定係數法求解.
類型三 一次函數
【解後感悟】(1)此題主要理解一次函數與一元一次方程關係,關鍵是正確求出一次函數關係式;(2)從函數的角度看,就是尋求使一次函數y=x+b的值大於y=kx+6的值的自變量x的取值範圍;從函數圖像的角度看,就是確定直線y=x+b在直線y=kx+6上方部分所有的點的橫坐標所構成的集合.解決此類問題一般方法為畫出圖像,仔細觀察圖像,根據圖像寫出方程(組)解、不等式解集.注意不等式解集交點(公共點)處函數值相等,所以解集要麼在交點左側要麼在交點右側.注意數形結合思想的運用.
類型四 一次函數的應用
(2016·南京)如圖中的折線ABC表示某汽車的耗油量y(單位:L/km)與速度x(單位:km/h)之間的函數關係(30≤x≤120),已知線段BC表示的函數關係中,該汽車的速度每增加1km/h,耗油量增加0.002L/km.
(1)當速度為50km/h、100km/h時,該汽車的耗油量分別為多少L/km?.
(2)求線段AB所表示的y與x之間的函數表達式.
(3)速度是多少時,該汽車的耗油量最低?最低是多少?
【解後感悟】正確求出兩線段的解析式是解好本題的關鍵,因為係數為小數,計算要格外細心,容易出錯;另外,此題中求最值的方法:兩圖像的交點,方程組的解;同時還有機地把函數和方程結合起來,是數學解題方法之一,應該熟練掌握.
專題小結
一次函數專題是中考必考題。要求掌握一次函數的解析式求法,會利用一次函數圖像的性質判斷一元一次不等式(組),會運用一次函數的知識解決實際問題等。
利用一次函數圖像與坐標軸的交點求解時,先判斷b的正負。由於b的不確定性,導致圖像的位置不同,解題就需要分類討論:b>0和b<0兩種情況.該題型是中考命題趨勢.
一次函數是中考的基礎題型,複習時注重夯實基礎,爭取會的全對!