第7講二元一次方程組及其應用
考點分析
思想方法
基本思想：
化歸與轉化思想：解二元一次方程組的基本思想是「消元」，即化「二元」為「一元」，這種方法體現了數學研究中的化歸思想，具體地說，就是把「新知識」轉化為「舊知識」，把「未知」轉化為「已知」，把「複雜問題」轉化為「簡單問題」，本部分的二元一次方程組問題一般通過「消元」轉化為一元一次方程問題解決．
基本方法：
兩個方法：①代入消元法；②加減消元法．
若方程組其中一個方程中的未知數係數為1或－1，則直接採用代入消元法求解；若相同未知數的係數相等或互為相反數時，則直接採用加減消元法求解．
真題精選
例題精講
類型一 二元一次方程(組)的有關概念
【解後感悟】(1)解題關鍵是把方程的解代入原方程，使原方程轉化為以係數a為未知數的方程；(2)解題的關鍵是觀察兩方程的係數，從而求出a－b的值；(3)通過二元一次方程組的解的概念，轉化為解a，b的二元一次方程組，並且會用代入消元法或加減消元法解方程組．注意「消元法」的運用．
類型二 二元一次方程(組)的解法
【解後感悟】二元一次方程的解法，把一個未知數的代數式表示另一個末知數是解題的關鍵．對於二元一次方程組的解法，方程組中未知數的係數較小時可用代入法，當未知數的係數相等或互為相反數時用加減消元法較簡單．
類型三 二元一次方程組的綜合問題
【解後感悟】幾個方程(組)同解，可選擇兩個含已知係數的組成二元一次方程組求得未知數的解，然後將方程組的解代入含待定係數的另外的方程(或方程組)，解方程(或方程組)即可．
類型四 二元一次方程組的應用
【解後感悟】本題是二元一次方程組解決實際問題的運用和分類思想的應用．解答時注意分兩班人數和多於50人且少於100人和兩班人數和多於100人兩種情況討論．
【解後感悟】這是基本的和差倍分問題，解題時按照順序列方程即可。
熱點題型
例題7、（2018宜昌）我國古代數學著作《九章算術》中有這樣一題，原文是：「今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛，問大小器各容幾何．」意思是：有大小兩種盛酒的桶，已知5個大桶加上1個小桶可以盛酒3斛（斛，是古代的一種容量單位），1個大桶加上5個小桶可以盛酒2斛．1個大桶、1個小桶分別可以盛酒多少斛？請解答．
【分析】直接利用5個大桶加上1個小桶可以盛酒3斛，1個大桶加上5個小桶可以盛酒2斛，分別得出等式組成方程組求出答案．
例題8、（2018白銀）《九章算術》是中國古代數學專著，在數學上有其獨到的成就，不僅最早提到了分數問題，也首先記錄了「盈不足」等問題．如有一道闡述「盈不足」的問題，原文如下：今有共買雞，人出九，盈十一；人出六，不足十六．問人數、雞價各幾何？譯文為：現有若干人合夥出錢買雞，如果每人出9文錢，就會多11文錢；如果每人出6文錢，又會缺16文錢．問買雞的人數、雞的價格各是多少？請解答上述問題．
【分析】設合夥買雞者有x人，雞的價格為y文錢，根據「如果每人出9文錢，就會多11文錢；如果每人出6文錢，又會缺16文錢」，即可得出關於x、y的二元一次方程組，解之即可得出結論．
【方法與對策】這是兩道數學史的材料題，構建二元一次方程組來解決實際問題，關鍵是揭示數量關係．該題型是中考命題的一種形式．
專題小結
二元一次方程及其應用是中考的必考題型。
本專題要求學生掌握基本的數學運算，並能運用方程的思想解決實際問題。
本專題難度係數不大，是中考中的基礎題型。
同時，近年來中考數學有向古代數學文化傾斜，要求學生有一定的數學歷史常識。比如《九章算術》、《增刪算法統宗》、《孫子算經》等中國古代數學經典著作常在考卷中出現。