中考數學專題系列七十五：一元一次方程的應用題「配套問題」
作者 卜凡
眾所周知，列一元一次方程解應用題是初中學生首次接觸的應用題，是學生學習的難點，這個難點突破得好不好直接關係到方程組的應用、不等式（組）的應用、分式方程的應用、函數的應用等應用題的學習，所以對一元一次方程應用題的學習都非常重視，除了重視之外，方法的引導尤為關鍵，在教學中通常採取專題訓練的學習方式，引導學生如何把實際問題轉化成數學問題，找出題目中的等量關係，從而列出方程，使所求問題順利解決。今天先和大家介紹最為簡單的方程應用題：配套問題，請看例題。
例題1、 機械廠加工車間有85名工人，平均每人每天加工大齒輪 16個或小齒輪10個，已知2個大齒輪與3個小齒輪配成一套，問需分別安排多少名工人加工大、小齒輪，才能使每天加工的大小齒輪剛好配套？
思路分析： 數式的學習，一般是求什麼解什麼，受這種思維模式的影響，孩子們也習慣性地想從題目的已知數據中求出工人數，所以列方程解應用題首先解決的問題是學生的思維模式。
把要求的問題設成未知數，然後把這個未知數當做已知數對待，從題目中尋求等量關係，然後把具有相等關係的量用不同的式子來表示，表示出來後，用等號連接即得方程，這是培養學生們思維的關鍵。
如此題，先設安排x名工人加工大齒輪，則85-x名工人加工小齒輪，則加工的大齒輪的個數為16x，小齒輪的個數為10（85-x），因為2 個大 齒輪與 3 個小齒輪配成一套，所以「使每天加工的大小齒輪剛好配套」時，大齒輪的個數乘以3才與小齒輪的個數乘以2相等，於是得到3×16x=2×10（85-x），解得x=25，所以85-x=85-25=60.
例題2、某車間有100名工人，每人每天平均可加工螺栓18個或螺母24個。要使每天加工的螺栓與螺母配套（1個螺栓配2個螺母），應如何分配加工螺栓和螺母的工人？
思路分析：與例題1思路相同，設x名工人加工螺栓，則（100-x）名工人加工螺母，於是每天加工的螺栓數量為18x，加工的螺母數量為24（100-x），因為「1個螺栓配2個螺母」，所以，要使每天加工的螺栓與螺母配套，則有螺栓的數量乘以2=螺母的數量乘以1，於是得到方程18x·2=24（100-x）·1，解得x=40，則100-x=60.
例題3、某工廠有16名工人，每人每天可以生產A 部件100件或B部件150件。其中組裝一臺機器需要A部件2個和B 部件5個。問：為使每天生產的部件剛好組裝成機器，怎樣安排生產A部件和B部件的工人。
思路分析：與例題1、2思路相同，設x人生產A部件，則（16-x）人生產B部件，於是每天生產的A部件數量為100x，每天生產的B部件數量為150（16-x），因為組裝一臺機器需要A部件2個和B 部件5個，所以A部件數量的5倍=B部件數量的2倍，所以100x·5=150（16-x）·2，解得x=6，則16-x=10.
現在把題目的難度稍微加大一點，分析一下如何解答？
例題4、某廠生產一批西裝，每2米布可以裁上衣3件，或裁褲子4條，現有花呢210米，為了使上衣和褲子配套，裁上衣和褲子應該各用花呢多少米？
思路分析：此題與例題1、2、3的不同之處是「每2米布…」，所以需要做的第一項工作是變「每2米布…」為「每1米布…」，由題意可知「每1米布可以裁上衣3/2件，或裁褲子4/2=2條」，設花呢210米中，裁上衣用x米，則裁褲子用（210-x）米，則上衣的數量為3/2x，褲子的數量2（210-x），我們知道1件上衣與1條褲子配套，所以上衣的數量=褲子的數量，所以，3/2x=2（210-x），解得x=120，則210-x=90.
「配套問題」的解決方法除找等量關係，列方程之外，還有更加快捷的解決方法：交叉相乘法，具體的操作步驟在例題1、2、3、4的圖示中就可看出。特別強調的是，學會找等量關係是關鍵，交叉相乘法僅適合於「配套問題」，具有特殊性。