中國目前初中數學教育大綱基於以下這個情況，即絕大多數人現實生活中只會用到三年級以下的數學，因此難度下降很大，屬於普遍教育。而高中數學的難度並沒有下降，因此初高中之間的銜接存在著很大的困難。
我曾經遇到過本地區最好的公辦初中的一個學生，她在初中排在年級前20名（年級總共500多學生），但是進入高中後感覺非常吃力，跟不上進度。和她交流後我一句話概括，現在的初中數學要求太低，難度太低。
本系列專題講座的習題和例題都來自各年中考題以及重點高中的自招題，難度高於中考的平均程度，差不多是重點高中的自招難度。
系列裡面許多解題方法和擴展的知識對進入高中後的數學學習是極其必要的補充。
系列的習題和例題都在不斷豐富和更新中。
初中數學培優 七年級下 第八講 因式分解（初中競賽難點之一）
二、重點難點分析
1.因式分解的實質是多項式的恆等變形，是將多項式轉化為幾個整式的積的形式，和整式乘法是互逆關係。
2.提取公因式法是因式分解的基本方法，關鍵在於找公因式。找公因式的方法是:一看係數,二看相同的字母或因式。
3.平方差公式:a2一b2=(a+b)(a-b)；完全平方公式:a2 2ab+b2==(ab)2是常用的兩個公式，平方差公式適用於二項式，完全平方公式適用於三項式。
4.因式分解的一般步驟:(1)若多項式有公因式，先提取公因式；(2)若多項式沒有公因式。對於二項式，可以考慮應用平方差公式；對於三項式可以考慮應用完全平方公式或十字相乘法[x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)]；(3)當多項式不能應用公式或者項數多於三項時,也就是既沒有公因式也不能用公式分解時，可以嘗試用分組分解法，項數較少時可通過拆項或添項後再分組。
5.因式分解的兩種常見錯誤:一是"提不淨"，即有公因式沒提乾淨；二是"分不清"、即分解不徹底，因式分解一定要分解到每一個因式都不能再分解為止。
6.十字相乘法和分組分解法雖然是課本上不作要求的方法，但對於整式的變形有很大的作用,建議學會這兩種方法。
7.配方法、換元法、待定係數法、求根法、拆(添)項法等都是因式分解的常用方法。
三、例題精選
例1因式分解：
（1）；
（2）；
(3)9（）22；
(4)3a2+bc-3ac-ab;
(5)16x4-8x2y2+y4.
解析：
(1)原式==（x+2）（x-2）；公式法
(2)原式=-y（）=；提取公因式再公式法
(3)原式=[3(a-b)+2(a+b)][ 3(a-b)-2(a+b)]=(5a-b)(a-5b);公式法
(4)原式=(3a2-3ac)+(bc-ab)=3a(a-c)-b(a-c)=(3a-b)(a-c);分組分解法.
（5原式=(4x2-y2)2=(2x+y)2(2x-y)2.兩次使用公式法。
總結：(1)同底數冪的乘除要先分清底數是否相同,若不同,則要先化為同底數冪的運算再運用法則;(2)法則中"底數"可以是數、字母或代數式，關鍵是要相同;(3)同底數冪的乘法和除法是同級運算,按從左到右的順序計算。（4）注意正負符號，底數和指數的符號是兩個不同的內容，不要混淆.
例2因式分解：（1）x2-120x+3456；（2）x2+42x-3528。
解析：常規思路這種三項式直接用十字交叉法做；但是由於常數項太大，很難一眼看出3456可以拆成哪兩個數字之積，因此我們可以考慮先用配方法，構造出a2-b2的形式，然後用公式差公式分解。
（1）原式=(x-60)2-3600+3456
=(x-60)2-144
=(x-48)(x-72);
（2）原式=(x+21)2-441-3528
=(x+21)2-3969
=(x+21)2-632
=(x+84)(x-42).
例3閱讀下列材料並解答問題:
因為(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab，所以對於二次項係數為1的二次三項式x2+px+q的因式分解,就是把常數項q分解成兩個數的積且使這兩個數的和等於p,即若有a,b兩數滿足ab=q且 a + b= p ， 則有x2+px+q=(x+a)(x+b).這就是十字相乘法（十字交叉法）的原理。
例如:分解因式, x2+5x+6.
解:3=6,2+3=5, x2+5x+6=(x+2)(x+3)。
再如:分解因式、x2-5x-6
解:-61=-6、-6+1=-5、x2-5x-6=(x-6)(x+1)。
同學們、閱讀完上述文字後、你能完成下面的題目嗎?試試看分解因式:(1) x2+7x+12；
（2）x2-7x+12；
（3）x2+4x-12；
（4）x2-x-12.
解：
(1)原式=(x+3)(x+4)；
(2)原式=(x-3)(x-4)；
(3)原式=(x+6)(x-2)；
(4)原式=(x-4)(x+3)。
例4閱讀下面的材料,解答下列問題:
材料1:公式法(平方差公式、完全平方公式)是因式分解的一種基本方法.如對於二次三項式a2+2ab+b2,可以逆用乘法公式將它分解成(a+b)2的形式,我們稱a2+2ab+b2為完全平方式,但是對於一般的二次三項式,就不能直接應用完全平方公式了,我們可以在二次三項式中先加上一項,使其配成完全平方式,再減去這項,使整個式子的值不變,於是有: X2+2ax-3a2=x2+2ax+a2-a2-3a2=(x+a)2-(2a)2=(x+3a)(x-a). 此即拆項添項法，而配方法本質上也是拆項添項法。
材料2:因式分解:(x+y)2+2(x+y)+1.
解:將"x+y"看成一個整體,令x+y=A,則原式=A2+2A+1=(A+1)2.
再將"A"還原,得;原式=(x+y+1)2.
上述解題用到的是"整體思想"或者叫「換元法」,整體思想是數學解題中常見的一種思想方法,請你解答下列問題:
(1)根據材料1,把c2-6c+8分解因式;
(2)結合材料1和材料2完成下面各題:
①分解因式:(a-b)2+2(a-b)+1;
②分解因式:(m+n)(m+n-4)+3.
解析：
(1)利用已知結合完全平方公式以及平方差公式分解因式得出答案;
(2) ①直接利用完全平方公式分解因式得出答案;
②利用已知結合完全平方公式以及平方差公式分解因式得出答案。
解答:
（1）原式=(c-3)2-9+8=(c+2)(c-4);
（2）①原式=(a-b+1)2;
②原式=（m+n）2-4（m+n）+3
=（m+n-1）（m+n-3）。
例5 因式分解：
（1）4x3-31x+15；
（2）x3+5x2+3x-9；
（3）2a4-a3-6a2-a+2。
解析：這些題目基本達到競賽的難度，要多種方法綜合使用，
通過每道題目的講解，把競賽中經常要使用的方法講解一下。
（1）
方法一、以試根法和綜合除法（長除法）為主導，十字相乘法配合求解。
假如經過因式分解後4x3-31x+15=A（x-a），其中A為一個二次多項式。那麼把x=a代入恆等式，等號兩邊都等於0。在例4的解答過程中我們可以發現，對於最高次係數為1的多項式，a必定是常數項的因數；推廣而言，當最高次項係數為p，常數項為q時，如果多項式存在一次項因式（x-a），那麼a必然是的其中一個值。
比如此題，4的因數有1,2,4等三個（p只需要正因數即可），15的因數有：（q的因數要考慮正負數）。通過試根，我們發現把x=-3代入原多項式的值為0，所以）（x+3）是原多項式的一個因式，把（x+3）作為除式去除4x3-31x+15，商式為4x2-12x+5，這樣三次多項式就變成二次多項式，達到了降冪的目的，然後對商式繼續分解。綜合除法部分可以參考上一講《整式的除法》。
原式=（x+3）（4x2-12x+5）
=（x+3）（2x-1）（2x-5）。
方法2：利用添項拆項法,配合十字相乘法。
原式=4x3-x-30x+15
=x（4x2-1）-15（2x-1）
=x(2x-1)(2x+1)-15(2x-1)
=(2x-1)(2x2+x-15)
=(2x-1)(2x-5)(x+3).
相對而言，試根法比添項拆項法靠譜，添項拆項法運氣好的時候一下就可以成功，運氣差的時候可能一天都湊不出來。試根法雖然麻煩，但是它可以選擇的a的值的數量是可控的。
（2）方法一、試根法。
這個題目偶次項係數和是5-9=-4，而奇次項係數和為1+3=4，兩個數互為相反數，那麼x-1必然是該多項式的一個因式；如果偶次項係數和=奇次項係數和，那麼x+1必然是該多項式的一個因式。
原式=（x-1）（x2+6x+9）
=（x-1）(x+3)2。
方法2、拆項添項法配合分組分解法。
原式=（x3-x2）+（6x2-6x）+（9x-9）
=x2(x-1)+6x(x-1)+9(x-1)
=(x-1)(x2+6x+9)
=(x-1)(x+3)2;
(3)方法1：試根法，由題（2）分析可知，a+1是該多項式的一個因式。
原式=（a+1）（2a3-3a2-3a+2）（奇次項係數和與偶次項係數又相等）
=（a+1）2（2a2-5a+2）
=（a+1）2（a-2）（2a-1）。
方法2：分組分解法
原式=a3(2a-1)-(2a-1)(3a+2)
=（a+1）2（a-2）（2a-1）.
總結：因式分解是初中數學的一個難點，方法多，試題靈活，在自招招生和競賽中屬於必考內容，僅僅書上的知識只夠應付中考。
例6、請看下面的問題:把x4+4分解因式。
分析:這個二項式既無公因式可提,也不能直接利用公式,怎麼辦呢?19世紀的法國數學家蘇菲·熱門抓住了該式只有兩項,而且屬於平方和(x2)2+22的形式,要使用公式就必須添一項4x2、隨即將此項4x2減去,即可得x4+4= x4+4+4x2-4x2=(x2+2)2-4x2=(x2+2)2-(2x)2=(x2+2x+2)(x2-2x+2).
人們為了紀念蘇菲·熱門給出這一解法,就把它叫做"熱門定理"。請你依照蘇菲·熱門的做法，將下列各式分解因式:
(1)x4 + 4y4；
(2) x2 - 2ax-b2-2ab.
解答：(1)原式=（x2+2y2）2-4x2y2
=(x2+2y2+2xy)(x2+2y2-2xy);
(2)原式=（x-a）2-a2-b2-2ab
=（x-a）2-（a+b）2
=（x+b）（x-2a-b）。
例7 因式分解：（xy-1）2+(x+y-2)(x+y-2xy).（普通學生此題忽略）
分析：對於一個含有多個字母（一般3個以上）的多項式進行因式分解，我獨創了一種賦零值法，能夠極大的降低難度，以此題為例予以說明。這種方法都是針對競賽題的。
令x=0，則原式=1+（y-2）y=（y-1）2
令y=0，則原式=（x-1）2；
因為上述兩個結果，再次令x=1，則原式=0，令y=1，則原式=0；
所以原式必然含有因式（x-1）（y-1）；
根據輪換對稱性，原式=（x-1）（y-1）[A(x2+y2)+Bxy+C(x+y)+D]
再次使用特殊值法：x=0，y=0，則D=1；
令x=0，y=2,則，4A+2C=-2；
令x=0，y=3,則9A+3C=-3；
令x=y=2，則8A+4B+4C=0
最後解出A=0,B=1，C=-1，D=1；
最後結果：原式=(x-1)2(y-1)2.
這個題目使用了賦零法、特殊值法，待定係數法，難度很高。賦零值法是特殊值法的一種。
四、練一練
1、已知m，n互為相反數，且滿足(m+4)2-(n+4)2=16，求m2+n2的值。
2、因式分解：
(1) (x2-4x+2)(x2-4x+6)+4; (2)8a2b2-12ab2c
(3)a2-2ab+b2-c2; (4)p2-5p-36;
(5)(x2-2xy)2+2y2(x2-2xy)+y4; (6)(a-2b)2-25b2.
3、若a4+b4=a2-2a2b2+b2+6，求a2+b2的值。
4如果x2+x-1=0,求x3+2x2-7的值。
5、因式分解：
（1）x4-1-4x2-4x; (2)x5+x+1; (3)a2-b2+4a+2b+3
6、若x、y為正整數，並且xy+x+y=71，x2y+xy2=880，求3x2+8xy+3y2的值。
答案1、m=-n代入，得m=1，n=-1；原式=3.
2、（1）原式=(x-2)4;(2)原式=4ab2（2a-3c）；（3）（a-b+c）（a-b-c）；（4）（p+4）（p-9）；
（5）(x-y)4;(6)(a+3b)(a-7b).
3、移項，a4+b4+2a2b2-(a2+b2)-6=(a2+b2)2-(a2+b2)-6=(a2+b2-3)(a2+b2+2)=0, a2+b2+2,約去，得a2+b2=3。
4、用降冪的方法做：x2=1-x;代入x3+2x2-7=x(1-x)+2x2-7=x+x2-7=x+(1-x)-7=
用多項式除法做：x+1+,即x3+2x2-7=（x2+x-1）（x+1）-6=-6。
5、（1）原式=(x2+1)(x+1)(x-1)-4x(x+1) 先分組分解
=(x+1)(x3+x2-3x+1) 提取公因式
=（x+1）（x-1）（x2+2x-1）奇次項係數和偶次項係數和互為相反數。
（2）用拆項補項法，(用待定係數法試試)
原式= x5-x2+x2+x+1
=x2(x3-1) +x2+x+1
=x2(x-1)( x2+x+1) +x2+x+1
=(x2+x+1)(x3-x2+1)
(3)用補項法
原式=(a2+4a+4)-(b2-2b+1)
=(a+2)2-(b-1)2
=(a+b+1)(a-b+3).
用賦零法做，令a=0，則原式=-b2+2b+3=（-b+3）（b+1）；①
令b=0，則原式=a2+4a+3=（a+1）（a+3）；②
對比①②可得原式=(a+b+1)(a-b+3)。
6、由x2y+xy2=880得xy（x+y）=880；設a=xy ，b=x+y，則a+b=71①,ab=880②；
把a+b=71移項，得b=71-a代入②得a2-71a+880=0;(a-55)(a-16)=0.即或者（x、y為正整數，此方程無解，捨去）；
因此：3x2+8xy+3y2=3（x+y）2+2xy=878.