細說因式分解之分組分解法知識及解題技巧大全~

2021-01-08 Math實驗室

我們在初中階段學習的因式分解的方法主要分為四大類：①提取公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分組分解法；其中分組分解法的靈活較強且要求學生的理解能力也較高，因而要特別注意此類方法的掌握，我們本文主要講解因式分解法中的分組分解法的相關知識，至於其他未涉及內容我們將會在後續更新出來，也請大家持續關注~接下來我們將進行詳細的講解，希望對大家有所幫助~有什麼問題都可以留言、評論指教說明~

1.分組分解法的意義

我們知道當有的多項式各項沒有公因式，我們是不能直接運用公式法進行分解因式，但是某些項通過適當的結合成為一組，利用分組可以進行多項式的局部分解，然後再綜合起來，接著從總體上用提取公因式法和十字相乘法繼續進行分解，直到分解出最後結果.我們稱這種分解因式的方法叫做分組分解法.

2.分組的原則

分組分解法適用於多項式不能直接使用提取公因式法、公式法與十字相乘法的多項式分解情況，但分組分解法又比較靈活，其分解的關鍵在於分組要適當，因而我們需要牢記它的分組原則：①分組後能直接提取公因式； ②分組後能直接運用公式.

【補充說明】

分組分解法並不是一種獨立的因式分解的方法，它通過對多項式進行適當的分組，把多項式轉化為可以應用基本方法（即提取公因式法或公式法）分解的結構形式，使之具有公因式，或者符合公式的特點等，從而達到可以利用基本方法進行分解因式的目的. 因而我們有目的地將多項式的某些項組成一組，從局部考慮，使每組能夠分解，從而達到整個多項式因式分解的目的，至於如何恰當地分組，需要具體問題具體分析，但分組時要有預見性，要統籌思考，減少盲目性，分組的好壞直接影響到因式分解能否順利進行.通過適當的練習，不斷總結規律，便能掌握分組的技巧.

3.常用的分組方法

方法一：分組後能提取公因式

（1）按字母分組：

【例題分析】分解因式：ax+ay+bx+by

（2）按係數分組：

【例題分析】分解因式：a-ab+3b-3a.

（3）按次數分組：

【例題分析】分解因式：x+x+x-y-y-y

【補充說明】立方差公式：

方法二：分組後能運用公式

【例題分析】分解因式：x-2xy+y-z.

方法三：重新分組

【例題分析】分解因式：4x+3y-x（3y+4）

4.分組分解法分解因式的幾點注意事項

（1）分組分解法主要應用於四項以上（包括四項）的多項式的因式分解.（2）解題時仍應首先考慮公因式的提取，公式法的應用，其次才考慮分組.（3）分組方法的不同，僅僅是因為分解的手段不同，各種手段的目的都是把原多項式進行因式分解.（4）對於四項式的兩兩分組，儘管方法不唯一，但是並不是任何兩項分組都可以達到目的，分組要注意合理性，四項式中的另一種三項、一項分組，這三項的一組中應使其成為完全平方公式，而剩下的一項必須能寫成某個式子的平方，且又與完全平方的式子的符號相反，則得到a-b的形式，再用平方差公式分解.（5）五項式一般採用三項、兩項分組.（6）六項式採用三、三分組，或三、二、一分組，或二、二、二分組.（7）原多項式中帶有括號時一般採用不便於分組時可先將括號去掉，整理後再分組分解.

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