毫無疑問，初一下學期乘法公式是初中數學學習中重點中的重點，難點中的難點。乘法公式顧名思義，是公式，也可以說，初中階段除了一元二次方程部分涉及到一個韋達定理公式之外，其餘所有的代數部分公式基本都集中在乘法公式這一塊。這章節毫無疑問是要求重點學習，但為何是難點中難點呢？就在於初中課程義務教育要求的公式極其少，但中高考所考的公式又非常多，這就涉及到一個問題，必須拓展乘法公式的數量，加強這方面知識點的深入研究。本文我將以乘法公式課本所要求的幾個基本公式，展開相應的推導變形，以期對初中的學生學習有所助益。
我們先看初中教材要求的乘法公式基本公式，第一個介紹平方差公式，即兩個字母的平方作差，得到一個因式分解式。我們標為公式①，這是一個獨立的公式，並非是有對應的公式存在，即並不存在平方和公式，比較特殊，單獨列出來。
下面介紹一對完全平方式，即完全平方差公式和完全平方和公式，我們分別標為公式②和公式③，這是互相對應的兩個公式。即兩個字母差的平方及和的平方，展開即可。特別注意：無論哪一個公式左推右或右推左，即正運算或逆運算都代表是一個公式，餘下皆同。
蘇教版課本上涉及到的乘法公式就這三個，可見少之又少。但考試中要用到的公式又需要掌握很多，這就是義務教育的基礎性和選拔性考試中高考最根本的矛盾所在。義務教育的基本目標是提高學生的文化素質，目的是脫盲。中高考的目標是選拔優秀學生，目的是培養高科技人材。所以我們才時常聽到義務教育天天喊減負，中高考考好學校卻越來越難。我們試想：社會發展高速猛進，科技創新日新月異的今天，知識的廣度和深度以幾何倍數增長的今天，反而談減負，減輕課本難度，減少知識攝入量，這能是正常嗎？我以為非但不能減少課本知識，而且得擴充課本知識廣度和增加知識難度，不然社會上失業的畢業生將越來越多，低配的工作越來越普遍。我們先補充以下兩個對稱公式。
這兩個公式我們稱為公式④，公式⑤。表示的意思很明白，即兩字母的立方差和立方和公式，化成因式分解乘的形式。因為這兩個公式不僅在初中會涉及到大題技巧性運算，後續也會在高中分數指數冪這個知識點學習中運用到，但三次方難度比較大，就這兩個公式我們只要求小孩牢記掌握，不做拓展。
我們利用公式②和公式③，推導出以上幾個公式變形。通過仔細觀察公式③和公式④，我們可以發現它們之間的差異，得出公式⑥和公式⑦。同樣分別作差和求和，得出公式⑧和公式⑨。切記一定是完全平方和公式減去完全平方差公式，這樣得出的二次項係數為正，當然這只是慣例，在做題中也會出現相反的情況。公式⑩和公式11是一類簡單變形，也很好理解。以上六個公式都是成對出現的，相對比較好記，但因是成對出現，反而可能會應用是用錯公式。
我們對應上述六個公式再做一個變形，字母a不變的情況下，令a的倒數即a分之一代替字母b帶入，可得出以上新的六個對應公式。這六個公式應用比較廣泛，可以說凡涉及到乘法公式技巧性的題目都容易牽涉到。特別是一些一元二次方程的技巧計算題目，嘗嘗考查這幾個變形公式的運用，後續我們將專題進行研究。同樣，這六個公式也是成對出現的，大家可以根據特點記熟。接下來我們研究一些變化形式，如下圖所示：
根據完全平方和公式，我們用兩個字母替代原來的一個字母，即用b+c代替原來的b，可以得到上面公式，運算時時一定要耐心細心，不要出錯。可以發現最終的運算結果是對稱存在的，即得到三個字母的分別平方和加上兩兩乘積的2倍，如果你對比完全平方和公式，你就會發現它們有千絲萬連的相似性。
當然，我們在字母前加上不同的字母替代，可以得到不同的結果。事實上，變化有點多，但理論上確實如此。以下是字母b和字母c前面正負號變化的另三種結果。
如果我們也把字母a前面的正號換成負號。這樣的話，又會得到四種結果。當然，在三個字母完全平方式的前提下，最終也只有這8種結果，因為滿足排列運算，即2*2*2=8。我們分別標註為公式18到公式25，餘下四種情況如下圖所示：
但是，雖然有這8種結果，考慮到互為相反數的兩個數平方相等的原則，我們只需要記住其中的一半，即四個即可。比如公式20和公式22，公式19和公式23，你會發現它們運算的結果是一致的，唯一的區別就是，它們的平方項互為相反數，所以這兩個公式只需記住一個即可。我們規定，學生應該記住前四個公式，即字母a的係數為正的四種可能，但在做題中，如遇到首字母負號為負的情況，一定得經過轉化為其相反數的這類公式變化。現在我們繼續推導另一種變形：
這類公式用到計算題技巧運算中，常用來出競賽題目，數字一般較大，我們在每年的暑假班課程中都會進行專題講解。
上面這個公式是必須要記住的最特殊最常考的一個，但同樣如此，它們一組並非僅有這一個公式，事實上我們依然用前面推導公式的方法進行不同負號的字母替代，可以得出以下幾個公式。
這組公式變化依然滿足排列運算，共八種，以下是餘下四種。
和之前八種只需掌握前四種公式不同，這八個公式並非有相反數關係，那麼就說明，每個公式變形都要掌握，但在實際學習中，我們要求第一個公式和最後一個公式必須掌握，特別是第一個即公式26考查的最多。最餘下的七個公式中，即從公式27-33中隨機會推導其中的三個，一共熟記四個即可，但同樣要求，在不同的題目中，靈活運用這8個公式。
在本篇文章即將結束的最後一部分，我們分別用雙字母分別替代完全平方和公式和完全平方差公式中的單字母，得到上圖和下圖這兩個公式。
你可以對比完全平方和公式和完全平方差公式，以及三個字母的平方公式，可以看出，類似的字母係數為1的平方運算有很多相似的部分。這兩個公式不要求初中的小孩掌握，除非你要有興趣參加競賽類型的考試。常規考試不會見到四個數字的平方運算，但競賽題目屢見不鮮。這種變化適合數學學習方面反應較快思維能力較強的學生，如有有意識培養小孩參加競賽性質的家長，條件允許的情況下，可以考慮接觸這方面知識點的深入學習。
乘法公式涉及到的公式很多很多，隨著字母的增多，次數的增大，會有無窮無盡個，我們在高中階段還要學習一個章節「二項式」，會研究具體數字的展開公式。本篇文章適合初中學生學習，如小孩能按照要求掌握住這些公式，並且能在後續做題中靈活運用，代數部分將有一個質的提高。