我們每天都要面臨各種各樣的選擇，它們就像一個個賭博，所以，對於重要選擇，最好算一算它的數學期望值，只要為正，那就用時間去實現吧，因為只要堅持，結果必然跑不出你計算的數學期望值。
——坤鵬論
這幾天坤鵬論一直在聊概率，其中曾多次講到期望值這個概念，今天就來具體說說它，並告訴大家如何進行應用。
一、第一個定義風險是損失的可能的人
首先，坤鵬論向大家隆重介紹個牛人。
他叫亞伯拉罕·棣莫弗，生於1667年，1754年11月27日卒。
棣莫弗是法國著名數學家，著名的棣莫弗定理就是他創立的。
他是一名新教徒，曾因為自己的信仰被關進監獄兩年多。
出於對法國及其所有一切的憎恨，棣莫弗於1688年逃亡到了英國倫敦，自此再也沒有回過他的祖國。
但是，在英國的他也不順心，可謂一生都過著悲觀、充滿挫折的生活。
他很努力，還是牛頓的朋友，但學術界並沒有獲得一個適當的位置。
棣莫弗在雅各布·伯努利的《猜度術》出版前，就對概率進行了廣泛而深入的研究。
他還寫了《機遇論》一書，被稱為早期概率史三部裡程碑性質的著作之一。
另外兩部則為《猜度術》和拉普拉斯的《概率的分析理論》。
雅各布·伯努利在其《猜度術》中這樣寫道：「無限地連續進行試驗，我們終能正確地計算任何事物的概率，並從偶然現象之中看到事物的秩序。」
但是，他並未表述出這種偶然現象中的秩序。
而這一工作就是由棣莫弗完成的。
他認為，用頻率估計概率這個特例而言，觀察值的算術平均的精度，與觀察次數N的平方根成比例，這個可看做人類認識自然的一個重大進展。
也正由於他的數學和概率才能，棣莫弗主要以教授數學課、賭博以及保險公司關於概率理論應用方面的顧問為生。
1711年，他在英國皇家學會的《哲學學報》上發表了《關於運氣的測量》。
1718年，該文擴充為書，並用英文出版。
在該書中，棣莫弗這樣寫道：「損失任何一筆錢的風險都是對預期值的背離；對這種風險真實的測量是，損失的數量與損失發生的概率的乘積。」
這可能是人類歷史第一部明確地定義風險是損失的可能的書了，同時給出了相應的公式。
87歲時，棣莫弗患上了嗜睡症。
每天睡覺長達20小時。
當達到24小時長睡不起時，他便在貧寒中離開了人世。
關於他的死有一個頗具數學色彩的神奇傳說：
在臨終前若干天，棣莫弗發現，他每天需要比前一天多睡1/4小時，那麼以後各天睡眠時間將構成一個算術級數，當此算術級數達到24小時時，自己就會長眠不醒了。
二、期望值的定義
坤鵬論在《投資不懂概率 永遠摸不到賺錢的真諦》中提到過，帕斯卡和費馬通過解分賭注的難題構建了概率論的基本概念——數學期望。
如果我們進行大量的試驗，我們所希望觀察到的結果的平均數，就被稱為期望值，它指經過概率加權之後所有可能的結果的總和。
不明白？
換句話說，期望值是在同樣的機會下重複多次的結果計算出的等同「期望」的平均值。
再通俗點講，就是我預期的獲利扣掉我預期的虧損的值。
如果計算出來的期望值是正，就代表我能夠長期獲利，相反，如果扣減出來的值為負，那我就會長期虧損。
三、三個鮮活的實例，不僅僅是期望值
1.買彩票的數學期望值
假設一個彩票總共發行了100張獎券，每張獎券10元，中頭獎的現金獎勵是500元。
請問，花10元買一張獎券划算嗎？
它的數學期望值這樣計算：
獲頭獎的概率×頭獎獎金－損失的概率×損失的數量
1:100×500－99:100×10＝0.01×500－0.99×10=-4.9元
這個計算結果說明花10元買獎券的數值期望是負的4.9元，不划算。
這裡要注意的是，概率表示在經過反覆實驗後一個事件發生的次數，數字期望值則指如果你在許多相同的賭注後每場遊戲的損益額。
上面-4.9元的期望值提醒你，在重複買同一張獎券的情況下，每次平均損失額預期為4.9元，而並不是指單一投注的玩法。
所以，專業的賭徒從來不會買彩票。
可以說，我們日常生活中許多決定都是一次性賭博。
因為這些選擇稍縱即逝，而且它們也不會是人生中的最後一個抉擇。
一生中我們面臨眾多充滿不確定性的決定，所以，我們每天都在賭博。
如果把生活抉擇視作一系列賭博的話，我們就應該在必要時以數學期望值作為參考。
特別是對於重要選擇，一定要選數學期望值為正的，接下來，就用時間去實現吧，因為只要堅持得夠久，結果必然會趨同於你計算的期望值。
長此以往，我們的表現就會越來越出色。
這就是名人所說——選擇就選有利於長期利益的根本原因所在。
2.輪盤賭的數學期望值
輪盤上共有包括00在內的38個不同的數字，在莊家荷官轉動輪盤時，珠子落入38個數字中任何一個槽內的概率是相等的。
假設你用1元押一個號碼，如果押中了，將贏得35元。
讓我們來算一下你每一塊錢的數學期望值是多少。
1÷38×35－37÷38×1=-0.0526
也就是長期來看，你每在輪盤賭上押一塊錢，平均損失達到5.26分。
所以，這種概率長期是利好莊家的。
在賭場中，經常會有賭徒認為自己連輸那麼多次，下一把肯定要轉運了。
其實在股市中、在生活中，走衰運的時候，我們也總會這麼安慰自己。
我們總認為，一件獨立事件在近期連續發生後再次發生的概率將會下降，或者近期沒有發生，那麼就會增加發生的概率。
但是，概率是沒有記憶的，就像你擲硬幣連續擲了五個背面，你總以為下一把肯定是正面，但對於下一把來說，正面和背面的概率永遠是50%對50%。
先前的結果對於未來結果沒有任何影響或者預期價值，因為它們沒有記憶，也沒有公平的意識。
正如19世紀法國數學家約瑟夫·伯特蘭德所說：「硬幣既沒有記憶，也沒有意識。」
這種心理是明顯的「賭徒謬誤」心理，就像輪盤賭玩家一樣，在紅色球連續出現4次，玩家便會把寶押注在黑色球上。
但實際上，在下一次輪盤轉動中，黑色球出現的概率同紅色球一樣大。
每一次輪盤轉動後結果彼此獨立，只是在長期內，紅色球與黑色球出現的可能性相等。
另外，再加上概率法則都無法排除的運氣作用，會使得結果更加撲朔迷離。
3.投骰子的數學期望值
為了大家記憶深刻，坤鵬論再舉個例子。
還是以賭博為例，因為它每一場都是完全的一個過程，不像股市那樣複雜。
例如最簡單的投骰子賭博，一般是三顆骰子，點數加起來小於等於10，算小，大於11，算大。
然後讓大家選擇押大還是押小。
看上去，莊家和賭客的勝率都是50%，應該是個公平的遊戲。
但是，這個押大小的遊戲還會有一個條件：如果三個骰子出現的點數一樣，比如三個1、三個2等，俗稱豹子，這時候就是莊家通殺，算莊家贏。
賭場贏錢的關鍵就在這裡了。
它的概率著實不高，只有2.77%，但就是這2.77%，莊家和賭客的勝率變成了51.39%和48.61%。
而賭場的貓膩就在這兒。
很多人會說，這才多大點概率。
的確，這個概率很小，才2.77%。
但正是因為這個2.77%的概率存在，讓賭場和玩家之間的勝率變成了玩家48.61%，賭場51.39%。
可別小看這點差異，接下來我們就來看看期望值是如何計算的。
假設你每次押100元，你的數學期望值是：
48.61%×100－51.39%×100=-2.78
也就是每次押100元，平均下來你每把的損失是2.78元。
短期內可能連續獲利或連續虧損，但賭場只要你不斷地玩就好。
因為，只要押注的次數越多，時間長了就會非常趨近這個數字。
可以說，賭場都是靠贏的概率天平稍稍向它傾斜一點點而立於不敗之地。
有個形象的詞叫：小刀割肉鋸大樹。
以前坤鵬論曾專門寫過《史上最全賭徒心理解析 股市裡的賭徒基本全中招 》，賭徒總是認為，如果自己一直坐在賭桌上，肯定會時來運轉，最後把輸掉的錢全都贏回來。
而賭博業早就研究透了人類那些個永遠不變的心理缺陷，賭場無法預測每場賭博的結果，但只要有相當多的玩家，它肯定會賺錢。
有位賭場的職員曾這樣說過：「我喜歡冒險，有時候一個晚上我們賺不到多少錢，但其他時候，我們賺到的是更多的錢。」
所以，大部分時候，大部分賭徒可以在短期獲勝，但就因為敵不過人性，最終還會淪為輸家，不僅會玩到輸光，甚至還要搭上本金。
正如亨利·霍華德·哈珀在《投機心理》中寫道的：
「這是已被證明的事實 ：運氣常常與玩家為敵。因為輪盤賭以莊家獲利為主，即使有時候莊家沒有任何獲勝的機會。這是因為亢奮的狀態使得玩家心智迷亂，以至於做出錯誤的舉動。比如，走黴運時雙倍押注，而好運來臨時卻縮手縮腳。或者在緊抓運氣雙倍押注獲勝後仍然固執地陷入其中，直到好運到頭。這種心理也同樣適用於股票交易。」
四、賺錢不是靠贏的次數多
話說一位撲克牌牛人和一位專業賭徒準備進行一場賭博比賽，時間為一周，看誰從賭場賺走的錢多。
撲克牌牛人精通各種牌技，所以他屢屢獲勝，而專業賭徒則偶有勝績。
一周過去後，兩個人把各自賺到的錢一數，專業賭徒贏的遠遠超過對手，甚至達到幾倍之多。
撲克牌牛人相當困惑，因為他明明打得很好，贏的場次也要比專業賭徒多得多。
百思不得其解，只得向專業賭徒求教。
後者丟下一句話便揚長而去：「你追求的是勝率，我追求的是期望值。」
撲克牌牛人懵懵懂懂地找來資料，研究人家說的期望值。
最終，他終於想通了，原來人家賭徒不在乎下一把的輸贏，更在乎的是控制每一把的風險，還有投入資金的大小。
而撲克牌牛人只想贏更多次，每次都下同樣的賭注。
其實，股市和賭場一樣，它們都不在乎你下注有多少次，只要有本金，不下注一直旁觀都無所謂。
但是，你要想賺最多的錢，關鍵就是在輸的時候賠得少，贏的時候賺得多。
這就是坤鵬論以前常說的，勝率高，數學期望值為正，你就應該下大注。
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