費馬猜想真有簡潔證明: 本原解化約律和冪尾數周期律

編者按

：這是一篇關於費馬猜想的簡潔證明，作者證明了兩個引理，一個是洛書定理，即冪尾數周期律，同時還證明了本原解化約律，這是一種回歸本質範疇的優化運算規則，就是把解集歸屬到更大範疇中去，找到解集成立的必要條件是冪尾數周期律。由兩個引理可直接推出費馬猜想成立。該猜想的證法，後來發現跟懷爾斯的證明很相似，懷爾斯是通過證明谷山-志村猜想以及弗賴猜想（已獲證的肯.黎貝定理）來完成證明費馬猜想成立的，谷山-志村猜想講的是，橢圓方程若有解（M-序列）必可模形式（E-序列），也是將解集歸屬到更大範疇中去。其簡化歸屬過程是證明關鍵，它是通過三大方法整體實現的。一個是科利瓦金方法，另一個是弗萊切方法，再一個是巖沢理論，三者協同完成了約化歸屬映射的證明。弗賴橢圓方程不可模形式，故弗賴橢圓方程不是有解的橢圓方程。

本文作者給出的證明，也用到三個方法，碰巧與懷爾斯的三個方法功能類似，一個是一次方的三元方程升冪後必變不等式，另一個是二次方的三元方程升冪後必變不等式，再一個是三元不等式除了一次方的升冪會變成有解方程外，其它的升冪後仍是不等式。本文作者的證法妙在找到了如何歸簡的思路，然後通過排除無法歸簡的集族，從而得到命題的精準證明。看得出這個證明方法與證明希爾伯特第八問題的思路是一致的，都是通過尋找最簡本原解來解決問題的，其實同懷爾斯的解題思路也非常吻合。作者解決希爾伯特第八問題的文章最近發布在澎湃新聞上引起巨大反響，不到3天閱讀量50多萬，累積3篇過100萬點擊，可見讀者對相鄰論和重合法甚為關注，它不是一個僅解決孤立問題的方法，相反，它可相鄰迭代指向不斷升級的「通用性」，「普適性」，是解決數學難題的核心引擎。

重合法持還原論世界觀，還原論指導我們，欲知「萬物之理」，首先要由外而內一層一層地去探究事物的本性，再由內而外一層一層地建構宇宙的秩序，凡所給對象可同構同態認知，在數學領域大多有通項表達式（真相只有一個）。而相鄰論則持演生論世界觀，演生論告訴我們，在不同的尺度下，宇宙萬物有著不同的本性；不存在唯一的「萬物之理」（通用和普遍須不斷升級），因為宇宙萬物都是在演化的進程之中「湧現」出來的，而「湧現」是不確定的和不可一勞永逸預測的，凡所給對象可互異互素認知，在數學領域並無通項表達式，但存在相鄰迭代表達（真相不止一個）。重合法有統一的周期律，而相鄰論則有互異的約化律，所給對象皆可「陰符」於一個前繼的更大範疇中，或皆可「陰符」於一個後繼的更小範疇中。「陰符」就是暗合，就是約化，互異本性之間存在著梯度歸屬。懷爾斯證明費馬猜想的一個最大收穫是，誕生了高階數學歸納法，由E-序列可探尋M-序列，由M-序列可探尋E-序列，由前繼序列可探究後繼序列，由後繼序列可探究前繼序列。也就是說可確定的集合概念定是潛在的普遍概念。

【摘要】

 用洛書定理①的冪尾數周期判定法則，以及不等式和方程的維度升降法可證明費馬猜想成立，印證了當年費馬自稱有一個巧妙證明只因《算術》一書的邊角太小而寫不下之類的話。另用此工具可進一步證明比爾猜想②，這是懷爾 斯③的模形式和橢圓曲線工具目前所不能完成的。

【關鍵詞】

 費馬猜想；比爾猜想；巧妙證明；洛書定理；冪尾數周期律；一次與二次三元方程升冪變換 三元不等式升冪變換；費馬無窮遞降法。 

 

用洛書定理的冪尾數周期判定法，以及不等式和方程的維度升降法可證明費馬猜想成立，印證了當年費馬自稱有一個巧妙證明只因《算術》一書的邊角太小而寫 不下之類的話。另用此工具還可進一步證明比爾猜想和考拉茲猜想成立，這是懷爾斯的模形式和橢圓曲線工具目前所不能完成的。作者發現的該方法與費馬小定理及費馬無窮遞降法有異曲同工之妙。它與重合法和相鄰論也是一致的，冪尾數周期判定規則和費馬小定理是重合法，不等式和方程的維度升降法和無窮遞降法以及數學歸納法是相鄰論。重合法找到公共交集，找到全體併集，找到公約周期，找到連續同類；相鄰論找到公共交集通往完美併集的梯度，找到離散異類，找到次第超越，找到化約律。 

此法果真很有威力，費馬當年自稱有一個巧妙證明原來不是吹牛！嘲諷費馬吹牛的段子很多，例如：「我有一個巧妙證明，可惜我要下飛機了，沒時間說」，「我有一個巧妙證明，可惜我媽喊我吃飯了，下回說」。其實費馬真有賣關子的習慣，很多同時代的數學家都很惱火費馬對數學發現的保密，不像現代人，一有發現，就想著立馬向公眾表白，生怕晚了丟了首發權。費馬不在意這些，是否能發表，能否被承認，人家壓根兒無所謂，他喜歡享受天下皆暗我獨明的樂趣，直到他樂意了，他才拋幾個數學發現出來，與大家共樂一番。因此費馬沒吹牛的概率極大。懷爾斯所完成的證明，所用數學工具，不是他那個時代具有的，於是就懷疑費馬吹牛，這個理由不足，要知道締造新工具的工具皆來自舊工具，用舊工具直接造出最新工具，不是不可能的。當然他也說過錯話，但真的比假的概率大，在這個問題上相信他多點比懷疑他多點更符合數學精神。

本文發表在《數學學習與研究》2015 年第15期，2015年3月修改於深圳。後收錄於 2017 年5月出版的《深圳基礎理論原創文集》（數學物理卷）一書中，此文為科普版。但保留了完整的證明步驟，絕不學費馬，用「我有一個巧妙證明，可惜這是科普版，沒法嚴謹表達」來搪塞，而是既有嚴謹表達，又有故事敘說。多點數感，多點直覺來幫助讀者理解數學形式化語言。

1. 整數的冪尾數在4數周期內循環

考慮到洛書的數獨圖所呈現出來的冪尾數體現了4周期規律，故把這一發現命名為洛書定理，就像不同模數不同餘數的未知數可用孫子算法解決於是叫孫子定理一樣，儘管現代算法是獨立發現的，我們還是要尊重古人的首次發現權。

那洛書定理的現代數學表達是怎樣的呢？ 用模運算表達就是：

偶數的情形（2 冪數左旋，8 冪數右旋）： （2mod10）n ≡（2 or 4 or 8 or 6）mod10； （8mod10）n ≡（8 or 4 or 2 or 6）mod10； （4mod10）n ≡（4 or 6 or 4 or 6）mod10； （6mod10）n ≡（6 or 6 or 6 or 6）mod10； （0mod10）n ≡（0 or 0 or 0 or 0）mod10。

奇數的情形（3 冪數右旋，7 冪數左旋）： （3mod10）n ≡（3 or 9 or 7 or 1）mod10； （7mod10）n ≡（7 or 9 or 3 or 1）mod10； （9mod10）n ≡（9 or 1 or 9 or 1）mod10； （1mod10）n ≡（1 or 1 or 1 or 1）mod10； （5mod10）n ≡（5 or 5 or 5 or 5）mod10。

證明該定理很容易，根據乘法口訣表，我們進行排列組合得到：5 為個位 數的奇素數只有 5 一個，其他 5 為個位數的正整數都能被 5 整除。由於除 2 外 的所有素數都是奇數，所以奇素數的個位數就只能是 3、9、7、1，所有奇合數 與奇素數都是奇素數或自乘或互乘的結果，故奇數的冪數尾數除 5 外，是 3、9、 7、1，偶數的冪數尾數除 0 外，剩下的是 2、4、8、6。即所有整數的冪尾數都在4數周期內循環。

有了以上洛書定理的發現，就可以用來證明費馬猜想、考拉茲猜想以及比爾猜想了，後兩個猜想這裡暫且不表。

2. 冪尾數周期判定法 

費馬大定理雖然已經被懷爾斯所證明，但不是最簡潔的證明方法，有130頁。該定理斷言：整數域方程 x^n +y^n = z^n ，當n ＞ 2 時，不存在正整數解。表述跟哥德巴赫猜想一樣都很簡單，但難住了世人 350 多年。現用最簡潔的方法進行證明。

數學家發現，1 指數的費馬方程有任意整數解，而當 x，y，z 互質且三元解中含5因子時，存在畢達哥拉斯（Pythagoras）③整數方程即2指數時的費馬方程有整數解；三元解中都不含5因子時，存在畢達哥拉斯整數不等式：

z ^2 ＜ x^ 2 +y^2 或 x^ 2 +y^2 ＜ z^ 2

整數域畢達哥拉斯方程 x ^2 +y^2 ＝ z^ 2 ，存在本原解（核心解，即三元互質時的解）。其他解都是核心解乘任意公因數。

方程的本原解（核心解）必須滿足：

 gcd（x，y，z）=1，gcd（x，y）=1，gcd（x，z）=1，gcd（y，z）=1。

方程的互質解必須滿足：左邊2項和右邊 1 項中必有且僅有一項為偶數，因為奇數的n次方還是奇數，偶數的n次方還是偶數。方程必須左邊一偶，右邊一奇加一奇，或者左邊一偶，右邊一奇減一奇，且相互之間互質，即畢達哥拉斯方程和費馬方程若有互質解必須 x，y，z 兩兩之間互質。

當各元指數 n=4k+2 或 4k+4 時，一奇一偶相加相減可得到5因子奇數或一奇一奇相加相減可得到5因子偶數，5因子數只有5結尾數或0結尾數。

指數為偶數2k+2時的費馬方程一奇一奇的9、1尾數相加減或一奇一偶的9、 1 和 4、6 相加減都不會獲得指數為 2 的同餘數 9、1 和 4、6，只能獲得指數為 2 的同餘數0和5。若有解必有一元解含5t因子數，t 為正整數。而在 5t 因子數仍無解，則方程就無解。

指數為偶數 2k+4 時的費馬方程一奇一奇的1尾數相加減或一奇一偶的1和6 相加減都不會獲得指數為4的同餘數1和6，只能獲得指數為4的同餘數0和5。若有解必有一元解含5t因子數。而在5t因子數仍無解滿足等式，則方程就無解。

綜合指數 4k+2 和指數 4k+4 的情形，偶指數的費馬方程若有解必須有一項 擁有5t解，若無5t解則無通解。這是偶指數費馬方程定理。若有解存在模形式（擁有5t解），若無解不可模形式。前者類似谷山-志村猜想的一類特例，後者類似弗賴猜想的一類特例。這個類型特例就是冪尾數周期律。下面將從冪尾數周期律出發，深挖出本原解約化律。

3. 不等式維度升降法 

那 5 因子數的本原解在畢達哥拉斯方程中存在，在指數大於2的費馬方程中是否繼續存在呢？ z 和 y 不取 5t 時畢達哥拉斯方程已證，都是不等式。即方程 x ^2 +y^2 =z^2 或者 y^2 –x^2 =z^2 在沒有5因子數的兩組解時，一定是不等式，剛已完成證明。畢達哥拉斯方程是二次方的費馬方程，當指數更大時，5t 解能否繼續存在？我們在畢達哥拉斯有解方程 3^2 +4^2 =5^2 或者 13^2 –12^2 =5^2 或者 20^2 +21^2 =29^2 的基礎上進行分類。總的來說有以下四種代表形式：

第一種「奇減偶」等於5尾數的；第二種「奇加偶」等於5尾數的；第三種「奇減奇」等於0尾數的；第四種「奇加奇」等於0尾數的。那就在以上四種情況下遞增指數，看是否還存在 5t 解，以下進行分析證明。

第一種和第三種情況。當 t 是奇數時，是第一種「奇減偶」等於 5 尾數的情況；當 t 是偶數時，就是第三種「奇減奇」等於 0 尾數的情況。現將 y ^2 –x^2 =（5t）^2 ，在真實有解等式的兩邊同時乘以 5t，得到： y^ 2（5t）–x^2（5t）=（5t）^3 。 此時 5t 是畢達哥拉斯方程的非互素解，要變成互素解，就得將左邊的兩項 5ty^2 ，5tx^2 進行更換。 5ty^2 因子項的底數變大，5tx^2 因子項的底數也同時變大，都大於 5t，那麼 方程就變成了不等式。 5ty^2 因子項的底數變大於 5t，5tx^2 因子項的底數也同時變小於 5t，那麼左邊會更大。 將 5ty^2 因子項的底數變小，5tx^2 因子項的底數也同時變小，都小於 5t，那麼方程就變成了不等式。 5ty^2 因子項的底數變小於 5t，5tx^2 因子項的底數也同時變大於 5t，那麼左邊會更小。總之在此基礎上方程兩邊要獲得增加的互素因子，就只能得到不等式。

因為更換辦法只有四種選項，皆導致不等式的產生，不更換則不可能是互素解，  即（5t）^3 ＞ y ^3 –x^3 或 y ^3 –x^3 ＞（5t）^3 。不更換方程三元非互素沒有本原解；更換吧，方程又變成了不等式。

另外兩種情況，將（5t）^2 =y^2 +x^2 兩邊乘以 x（其中x ＞ 1），得： xx^2 +xy^2 =x（5t）^2 變換後得： xx^2 =x（5t）^2 –xy^2 要使方程互素，右邊 5 因子項中的 x，以及右邊 y 因子項中的 x 就要換成互素數，而一換，等式就被破壞。 y和5因子項中的x都變大，右邊兩項的和就變大，或者5因子項中的x變大， y 中的 x 變小，相減後趨大，故會得到（5t）^3 –xy^2 ＞ x ^3 ，不等式成立。

再看不等式方向相反的另一種情況： y和5因子項中的 x 都變小，或者 5 因子項中的 x 都變小，y 項中的 x 變大， 故會得到 x^ 3 ＞（5t）^3 –xy^2 ，不等式成立。即不等式（5t）^3 ＞ y ^3 +x^3 或 y ^3 +x^3 ＞（5t）^3 都是成立的。不等式成立，意味著原方程無整數解。本原解 5t 也不能滿足等式要求。

當無5t 解時，根據 x^ 2 +y^2 ＜ z^2 或者 y ^2 –x^2 ＜ z^ 2 ，同理的方式可證明：當無5t解時，不等式升冪後 x^ 3+y^3 ＜ z^3 或者 y ^3 –x^3 ＜ z^ 3仍成立。前一個兩邊乘以y，後一個兩邊乘以x，即其中一項升冪，其它兩項增減更換後升冪，因大邊換大仍大，小邊換小仍小，故升冪後不等式仍成立。故2次方的三元不等式，升冪後所得到的3次方的三元不等式仍成立。

於是乎得到重要結論：若有 5t 解，指數為3時的費馬方程定無整數解，若無 5t 解，指數為3時的費馬方程亦定無整數解。

用數學歸納法繼續證明，推廣到指數為 n 時也成立。 假設不等式（5t）^n ＞ y^ n +x^n 或 y^ n +x^n ＞（5t）^n 成立； 即指數 n>2 時費馬方程沒有5t 解；那麼（5t）^（n+1） ＞ y ^（n+1） +x^（n+1）或 y ^（n+1） +x^（n+1） ＞（5t）^（n+1）也是成立的。

假設不等式（5t）^n ＞ y^ n –x^n 或 y^ n –x^n ＞（5t）^n 成立； 那麼（5t）^（n+1） ＞ y ^（n+1） –x^（n+1） 或 y^（n+1） –x^（n+1） ＞（5t）^（n+1） 也是成立的。 以下證明之。

將不等式（5t）^n ＞ y^ n +x^n 的兩邊乘以5t，右邊的兩項5t 換成非5尾數較小量的 y 和 x，不等式仍成立，即（5t）^（n+1） ＞ y ^（n+1）+x^（n+1） 成立。 將不等式 y^ n +x^n ＞（5t）^n 的兩邊乘以 x，左邊的 y 項換成較大量，5t 換成較小量，不等式仍成立，即 y^（n+1）+x^（n+1） ＞（5t）^（n+1）成立。

將不等式（5t）^n ＞ y^ n – x^n 的兩邊乘以 5t，右邊兩項 y 和 x 中的 5t 換成非5尾數的較小量，不等式仍成立，即（5t）^（n+1） ＞ y ^（n+1） – x^（n+1） 成立。

將不等式 y^n – x^n ＞（5t）^n 的兩邊乘以 y，左邊的 x 項換成較小量，5t 換成小量，不等式仍成立，即（5t）^（n+1） ＞ y ^（n+1） – x ^（n+1） 成立。

以上費馬方程5t及其他解導致不等式產生的四種可窮分類情形皆證明了迭代遞推命題成立。加上費馬方程指數 n=3 時無5t及其他整數解的首項判定成立， 故費馬方程無 5t 及其他解的命題得證。

而用冪尾數周期判定法已證，無5t解在偶指數費馬方程中必無通解，加上剛已證有5t解則偶指數費馬方程會變為不等式，即大於2的偶指數費馬方程一定無解。

於是現在假設大於2 的 n 指數時成立，遞推項 n+1 指數時就有兩種情形： 一是看奇指數2k-1 時是否成立； 二是看偶指數2k時是否成立。

奇指數 2k-1 可迭代求證出（2k-1）+1時成立，因為2k是偶指數，已證是成立的； 偶指數2k可迭代求證出 2k+1時也成立，即偶指數通過不等式維度升降可 變換為奇指數，故可知偶指數時的遞推也是正確的。

不等式維度升降法的原理是，不等式的大邊乘以較大量，小邊乘以較小量，不等式仍成立，只是在多項式中添加了一個小小技巧，就是用不等量替換等量，不等式關係仍成立。如此得到 next 項也成立的數學歸納法遞推證明，才使大於 2 的 n 指數時費馬方程沒有通解成立。

奇偶兩者合併，即指數大於 2 時的正整數域都無整數解。這就證明了指數大於 2 的費馬方程無整數解是成立的。費馬猜想中的冪指數表明這是一個有序列集合概念的命題，可用數學歸納法證明，因為序列集合概念，可抽象出全稱普遍概念。每遞增一個指數都映射一個空集解，符合遞推法則。

4. 費馬當年可能完成的巧妙證明 

其實費馬的無窮遞降法就是數學歸納法，費馬曾經用它來證明指數為 4 時方程無解，歐拉也利用無窮遞降法來證明指數為3時方程無解。無窮遞降法不僅可用於證明局部命題，還可以用於證明全局命題。用假設來推導命題無窮遞降，直到與初項 n=4 時相符。其中初項 n=4 時可按費馬的思想巧妙地證明方程無整數解成立，總之用他的體系證明費馬猜想是綽綽有餘的。他證明指數為 4 時的費馬方程成立其實方法很多，以下就是他有可能使用的證法。

根據費馬小定理 a ^（p-1） =1（mod p），必存在 w^4 +w=5^m，w與5互素，即 w ^（5-1）=1mod5，而指數為4的費馬方程是 x^ 4 +y^4 =z^4 。

方程右邊一個模 5 餘 1， 方程左邊兩個模 5 餘 1， 左邊合併就會模 5 餘 2，5 乘以任意整數都不會尾數得 1，於是方程左右矛盾，可見指數為 4 的費馬方程不是等式，而是不等式。

從而證明了：指數為 4 時的費馬方程無整數解。 當然其中一個不互素時，可能存在 5 因子解，但前文已證，此時會變成不等式。根據費馬小定理和歐拉定理a^Φ（n） =1（mod n），還可以證明更多的偶指數費馬方程無整數解。

可見從別的角度使用洛書定理，也可以得出指數為4的費馬方程無整數解。至於推廣到n維成立，費馬則藉助了無窮遞降法。可見費馬小定理加無窮遞降法就能證明費馬猜想成立。初項成立，最為關鍵！

費馬的無窮遞降法是這樣反證的：假設指數為n的費馬方程有整數解，因為高維有整數解那低維就定有整數解，高維無整數解那低維不一定無整數解，故指數為 n-1 的費馬方程也就當然有整數解，理由是指數為n時有解，那麼定有匹配的解集｛x ^n ，y^ n ，z^ n ｝和指數為 n-1 的費馬方程必有整數解，如果沒有， 添上解集後，使用不等式升降變換⑤（當年的費馬應該懂得該方法），n 維的費 馬方程就成不等式，故可反證降低 1 維後的費馬方程仍有整數解。 繼而指數為 n-2 的費馬方程也有整數解，最後可遞降到指數為 4 時的費馬方程，也有整數解，但這一結果與指數為 4 的費馬方程無整數解相矛盾，可見 原初假設有問題。故指數 n 不小於 4 的費馬方程皆無整數解就得證。至於指數 為3的費馬方程情形，可補充繼續證明。 指數為3時是歐拉完成的，也是按費馬的無窮遞降法完成證明的。大致思路如下。

現證明 x ^3 +y^3 ＞ z^3 或 z^ 3 ＞ x^ 3 +y^3 是成立的不等式。把小自然數 1 到 10 代入 到不等式窮舉成立，再假設 z=c 時不等式是成立的，可推理得到： x^ 3 +y^3 ＞（c-1）^3 也是成立的 因為不等式的小邊變更小，不等式仍成立。

可再假設 x=a 時 z^ 3 ＞ a^3 + y^3 是成立的，可推理出： z ^3 ＞（a-1）^3 + y^3 也是成立的 因為不等式的小邊變小，不等式仍成立。故如此無窮遞降下去都是不等式， 故原方程無整數解。 還可以假設 z=c 時費馬3次方程有解是成立的，然後證明 z=c-1 時費馬3次方程也是成立的，因為根據奇偶性有無 2 因子可推理得到 x^ 3 +y^3 =（c-1）^3 也是成立的，因為： c 是奇數，（c-1）就是偶數；c 是偶數.（c-1）就是奇數。

奇數時有解，可推理出偶數時也有解，可添加偶數共因子； 偶數時有解，可推理出奇數時也有解，可消去偶數共因子。

由此可無窮降維下去也應成立，但與小自然數如 1、2、3、4、5、6、7、8、9、 10…等代入費馬方程中的z 經過驗算無解而發生矛盾，因為在三維時，左邊兩加項的原二維素因子域，雖有解但增維後會擴展素因子，但右邊無素因子可增， 而本原解方程要求三元互素，導致 z 無可互素的素因子，即不可模表示，故費馬方程 3 次方時是不等式。一般無窮遞降法多半使用反證法，證明假設無窮遞降後會與初項矛盾。難怪歐拉證明完費馬3次方程無解後就撒手不繼續幹了，因為證明其他維度的費馬方程無解都可如法炮製。

指數為 2 時，不等式就不成立，首先窮舉小自然數時有例外，故遞推自然數時即便沒有矛盾也枉然。以上完成了針對底數的無窮遞降法後，就可以繼續針對指數也實施無窮遞降法的證明。

數學歸納法是針對自然數做變量而生效的，不論自然數映射的對象是單個元素還是一群數集，都是可行的。費馬方程指數為 3 指數為 4 時無整數解已證，現假設指數為 n 時方程也無整數解，就可以遞推到指數 n-1 時費馬方程亦無整數解，遞推方法依然是無窮遞降法。

當 y^n + x^n ＞ z^ n 或 z^ n ＞ y^n +x^n 為不等式成立時： 由 y^（n-1） + x^（n-1） ＞z^（n-1）可知，不等式的小邊消去一個較大因子，不等式小邊仍小。 由z^（n-1） ＞ y^（n-1） + x^（n-1） 可知，不等式的大邊消去一個較小因子，不等式大邊仍大。

也就是說假設高維費馬方程有解，可遞推到低維費馬方程有解，故矛盾， 由此可推理出費馬方程指數不小於 3 時無整數解。即假設： y^n +x^n =z^n 或 z^ n = y^n +x^n 為費馬方程成立時，可得到： y ^（n-1） +x^（n-1） =z ^（n-1） 它由原方程消去一個內積向量（x，y，z）而得到，其基礎解系方程仍成立， 由 z^（n-1） = y ^（n-1） +x^（n-1） 可知，降維的基底方程仍然生效有解。但這會與費馬方程三維四維無解矛盾，故假設不低於三維的高維費馬方程有解是不真的，費馬猜想獲證。之所以無窮遞降就是為了同低維的結論產生矛盾。而一般數學歸納法是無窮遞增的，其實數學歸納法也包含無窮遞降，兩者是相容的。兩者都體現了相鄰論的思想。

可相鄰遞推再加初項成立是標準數學歸納法，不等式降維升維可幫助相鄰遞推，無窮遞降法直接加初項不成立是歸謬數學歸納法，因為無窮遞降法是遠鄰遞推，二者都需要初項成立或不成立。也就是說必須要證明，費馬方程指數為 4 時無整數解，我不知道費馬是如何證明指數為 4 時方程無整數解的，也不知道歐拉是如何證明指數為 3 時方程無整數解的。但我知道，他們的思路是正確的。 一般來說，直推時多用數學歸納法，反證時多用無窮遞降法。

高維肯定為真可推得低維肯定為真； 低維否定為真可推得高維否定為真。 反之則不可逆推，要逆推也須基準條件註明，即低在哪個度，高在哪個度。不能因為費馬猜想四維成立就可用無窮遞降法來證明三維也成立，四維成立， 是無窮遞降法證明費馬猜想成立時所必須用的初項，三維不在範圍內，故不可遞推，須另外證明。歐拉把指數無窮遞降換成底數無窮遞降就可證明三維的費馬猜想了。歐拉的三維原版證明是否如此不得而知，我所知有限，估計也就遞推項的證明不一樣，但我知道歐拉的大體思路一定是這樣的。命題與假設不矛盾（通過不等式維度升降法），其次用洛書定理或費馬小定理證明了使用歸納法時必須要的命題初項成立（通過冪尾數周期循環法）。 而費馬是從指數 4 時無解直接用無窮遞降法後繼相鄰歸謬證明了費馬猜想，這是可行的，只是比較抽象而已。在證明後繼相鄰成立時，用到了本原解乘以或 除以 2 的冪集數可擴充得到通解，使奇偶數可成功相互變換成立，把乘性問題變成加性，把加性問題變成乘性，這是成功證明的關鍵。即：

c=2^k·a 為偶數時可推得， c-1=a 為奇數。 

從費馬方程中的偶指數大於2無解出發，獲得了不等式降維變換的證明。

已知，在正整數域中，A^2 +B^2 ＞ C^2 或者 A^2 +B^2 ＜ C^2 ，求證，A+B ＞ C 或 者 A+B ＜ C 亦成立，其中費馬方程中的變量偶指數大於 2。

證明： （1）當 A ＞ B ＞ C 時，則 A+B ＞ C；

（2）當 A ＜ B ＜ C 時，則 A^2 /C+B^2 /C ＞ C^2 /C 大邊的分母變小時大邊仍大，小邊的分母變大時小邊仍小。 於是，A^2 /A+B^2 /B ＞ C^2 /C，可得，A+B ＞ C。

（3）當 A ＞ B ＞ C 時，則與 A^2 +B^2 ＜ C^2 無關；

（4）當 A ＜ B ＜ C 時，則 A^2 /C+B^2 /C ＜ C^2 /C 大邊的分母變小時大邊仍大，小邊的分母變大時小邊仍小。 於是，A^2 /A+B^2 /B ＞ C^2 /C，可得，A+B ＜ C。

（5）當 A ＞ C ＞ B 時，則與 A^2 +B^2 ＜ C^2 無關；

（6）當 A ＜ C ＜ B 時，則 A^2 /A+B^2 /A ＜ C62 /A 大邊的分母變小時大邊仍大，小邊的分母變大時小邊仍小。 於是，A^2 /A+B^2 /B ＜ C^2 /C，可得，A+B ＜ C。

（7）當 A ＞ C ＞ B 時，則有 A^2 +B^2 >C^2 ，且有 A+B>C；

(8) 當 A ＜ C ＜ B 時，則定有 A+B ＞ C。

而 A 項與 B 項滿足交換律，無須重複考慮，於是 ABC 三元大小分布的情形均已囊括，皆可推得降維後的不等式成立，即 ABC 三元偶指數方程無整數解時，大於 2 時的奇偶指數方程亦無整數解。

根據偶數 s=2^k· t，可推得奇數 c-1=t，且 t 為奇數，既然偶指數情形存在不等式，那麼2t 指數情形就自然存在不等式，則由 x ^2a +y^2a =z^2a （a為正整數）降維得到的奇偶指數方程亦無整數解。即根據（x^ t ）^2 +（y ^t ）^2 =（z^ t ）^2 無整數解成立， 可推得奇指數時 x^ t +y^t =z^t 無整數解成立。亦可根據（x ^a ）^2 +（y^ a ）^2 =（z^ a ）^2 無整數解成立，可直接推得大於 2 的正整數指數時 x ^a +y^a =z^a 無整數解成立。也就是說，費馬方程大於2的奇指數以及正整數指數的情形皆得證無整數解。

這個證明真的顯示了，費馬當年只要《算術》一書邊角稍微大一些，就可書寫完畢「他的證明」，因為可用證明的文字的確不需要很多。用冪尾數周期判定法以及不等式維度升降法，作者完成了此項證明。而該方法一定在費馬時代有同物而異名的等價表達，費馬小定理、不等式降維變換與無窮遞降法就是。無窮遞降法和無窮遞進法都是數學歸納法，它通過遠鄰遞推出結果與初項或矛盾或不矛盾，代替數學歸納法中的用相鄰遞推出結果與假設不矛盾，再加初項 成立來證明命題。兩者的核心方法是一致的，本文的證明用的是後者，費馬完全具備可證明的條件。故費馬有一個巧妙證明是完全可能的，書角寫不下，兩三頁紙還是可以寫完的。

而懷爾斯的證明非常複雜，其思想是，有解的橢圓曲線方程一定是可模形式的，這就是谷山-志村猜想，這一點被懷爾斯所證明，而弗賴曲線是不可模形式的，由肯.黎貝證明，就像費馬方程曲線，懷爾斯進一步通過證明 E- 序列與 M- 序列有一一映射的關係，繼而反證，如果不可模形式的費馬方程有解，就會同可模形式的谷山-志村猜想相矛盾，於是費馬猜想得證。這是懷爾斯的證明。仔細想了下，它同本文證明還是有些相似的，冪尾數周期判定法與模形式有某些相同的功能，而不等式維度升降法與序列映射證明可遞推出一樣的目標。谷山-志村猜想就像畢達哥拉斯方程必有解是可模 5p 與 0 同餘的。

同130多頁的論文相比，本文的證明更加簡潔，就現代化的算法而言，本文的工具更加樸素，但都打開了通往未知世界的大門。

另外，本文作者還通過證明 ABC 猜想證明了費馬猜想、比爾猜想，見本書《揭示 ABC 猜想的反直覺之謎》一文。而 ABC 猜想又是通過哥德巴赫猜想完成證明的，反之不可，可見哥猜是更強命題。

5. 書邊角寬點真能寫下費馬猜想的證明

書邊角寬點真能寫下費馬方程無整數解證明：

5.1現假設費馬方程指數為給定數 n＞0 時無本原解，可證 x^ (n+1)+y^ (n+1)=z ^(n+1) 必無整數解，根據 x^ n +y^ n =z^ n 無整數解，即無基礎解系，它的特徵值正交基映射（x，y，-λ）必無解，即 x^( n+1)+y^( n+1)=λz^n 必無解，當然取特徵值 λ=z 時也必無解。再證用不含特徵值也不含匹配數的向量組來內積遞增指數所得到的 next 項命題也成立（即完成高階數學歸納法中的遞推部分證明），這種情形屬於不等式變換，三元一次不等式，乘以正數不等式不變，乘以負數不等號反向（本原解與通解變換），乘以特徵值或匹配數以及所對應的向量組，除勾股方程外，其他不能做到雙向數值匹配（保持非互素），故不等式仍成立（基礎解系與通解變換），大邊乘以或替換絕對值大量，小邊乘以或替換絕對值小量，不等式關係不變（純不等式變換）。

5.2.假設指數給定數 n ＞ 0 時費馬本原解方程有解，即存在三元一次方程有解，畢達哥拉斯方程有解，可證 x ^(2+1)+y^ (2+1)=z^ (2+1) 必無解，即畢氏方程有 5t 解或1次方程有解時，x^ 3 +y ^3 =z ^3 無整數解(兩種有解情形都是畢氏方程的升冪1次方)，從而證明了費馬方程無解的初項成立。費馬方程指數 n=1，2 為無解情形時，必 x ^3 +y^ 3 =z^ 3 無整數解（非互素線性組合的匹配數性質）。1 次方或2 次方任意一組有解情形時，升冪後所得到的 x^ 3 +y^ 3 =z^ 3 必無整數解（非互素線性組合的特徵值性質），兩組為有解情形時，x^ 2 +y^2 =z ^2 ，兩邊乘以z，得 zx^2 +zy^2 =z^ 3 ，因為 z＞y＞x 是定義條件，且三元線性相關，故用大變小替代原表達後，得 x^ 3 +y^ 3 ＜ z ^3 ，故原方程無解，這是改用互異遞推條件導致互素的（不等式變換性質）。這樣費馬方程指數大於 2 的初項命題3次方時被證成立，加上遞推得到的 next 項必成立（5.1已經完成遞推證明）。於是費馬方程無整數解獲證。

這裡的本原解對應可模形式，高維不可模形式可遞推低維不可模形式對應弗賴猜想（肯.黎貝定理，相當於5.1），也可對應它的逆否命題，低維可模形式可遞推高維可模形式，而相對高維可模形式亦可遞推低維可模形式，對應谷山-志村猜想（懷爾斯定理，相當於5.2），費馬猜想無解證明的遞推部分是肯.黎貝定理完成的，費馬猜想無解證明的初項或低維部分是懷爾斯完成的，低維不可模形式可推出相對高維不可模形式，是1次方和2次方的兩類可模形式升冪的結果，恰好升到3次方時，破壞了模形式，推出了首個相對高維的不可模形式，從而給遞推證明準備好了初項成立的條件。這個可直覺理解並可簡單證明的問題，懷爾斯是通過複雜手段解決的，大多數人都無法直覺理解。根據奧卡姆剃刀原則，本文作者的證明更具合理性。費馬完成了4次方時的無解證明，只差沒有合理交代這是高階數學歸納法的初項，以及無窮遞降法的遞推部分證明，懷爾斯的功績在於完成了這個可遞推的初項表達，與高階數學歸納法關聯了起來，遞推部分可藉助肯.黎貝定理。

懷爾斯和肯.黎貝所完成的事情，費馬也是可對等做到的，不妨來對接下費馬在那個時代已掌握的數學工具，不等式和方程升冪變換，那個時代早就會，所以無窮遞降法的遞推不是問題，甚至高階數學歸納法也定是會用的；另外費馬完成3次方時的無解證明也不是難事，歐拉的證明就是學習費馬的方法完成的，因此費馬完全有可能完成過費馬猜想的正確證明，至少是具備思路可行的正確證法。（

文/羅莫）

 

參考文獻 :

[1] 羅莫 . 用河圖洛書原理破解了考拉茲猜想 [J]. 數學學習與研究，2012 （11）：115-116.

[2] 西蒙·辛格 . 費馬大定理：一個困惑了世間智者 358 年的謎 [M]. 薛密， 譯 . 桂林：廣西師範大學出版社，2013.

 [3] 範德瓦爾登 . 代數學Ⅰ [M]. 丁石孫，孫肯成，郝鈵新，譯 . 北京：科 學出版社，2009.

 [4] 迪克森 . 代數方程式論 [M]. 黃緣芳，譯 . 哈爾濱：哈爾濱工業大學出 版社，2011.

注釋：

 ①洛書定理，割餘法的一種，任何一個自然數都可以分割成用模數和餘數表達的算式，其中用模數作為底數以任意自然數為指數所得到的值作為假餘數， 由此洛書定理發現，偶數可以無漏表達成 2a+2^k ，奇數可以無漏表達成 3b+2^t ， 而這正是考拉茲猜想的等價表達。

 ②比爾猜想，提出這一猜想的是得州銀行家 D . 安德魯，該猜想比另一個與之相關的數學難題「費馬最後的定理」更難解決。美國數學協會 2013 年 6 月宣布，任何人只要能給出比爾猜想數字理論的解決方案， 比爾就會獎勵給這個人 100 萬美元。

 ③安德魯 • 懷爾斯，英國著名數學家。他於1995 年證明了數論中歷史悠久的「費馬大定理」，並由此在 1998 年國際數學家大會上獲得了國際數學聯盟特別製作的菲爾茲獎銀質獎章。懷爾斯現在任教於英國牛津大學。

 ④畢達哥拉斯（約前 580 年－約前 500 年），古希臘哲學家、數學家和音樂理論家。他是傳統上所知的勾股定理（又稱畢達哥拉斯定理）首先發現者。

 ⑤不等式升降變換。不等式指數增減等價變換，不等式關係滿足指數的迭代推演，低指數時不等式成立，高指數時不等式仍成立，不等式大邊更大，小邊更小時，不等式仍成立。