冪律:自然界中的一個普遍規律

2020-12-04 量子認知

冪律，又稱冪定律、冪法則，英文：Power law，表述兩個量之間的一種函數關係，描述其中一個量的相對變化導致另一個量相對變化的關係，而與這些量的初始大小無關：一個量隨另一個量的冪而冪律變化，例如，正方形的邊長，如果長度加倍，則面積乘以四；如計算機摩爾定律的冪數增長；又如量子計算機的能力隨量子比特數呈冪數增長。

如上圖所示一個冪律的示例圖，右邊黃色形為長尾巴，體現著名的長尾理論，或稱長尾效應，指不受到重視的小量累積起來是相當可觀的量的效應。左邊綠色是佔主導地位的主幹部分，體現著名的80/20規則，又稱二八法則，常指在一組東西中，約20%的小部分，體現80%的大部分總量，譬如80%的公司利潤來自20%的重要客戶，其餘20%的利潤則來自80%的普通客戶等。如下圖預測一個國家的城市大小分布規律的齊夫定律。

在數學上，最普通的表達兩個變量之間關係的冪律形式為：

其中，a與k都是常數，o(x^k)是x的一個逼近微小函數。

尺度不變性

冪律的一個重要要屬性是其尺度不變性。給定關係f(x)=ax^(-k)，擴展參數x，導致函數本身按一個比例常數c縮放，即，

也就是說，函數c^(-k)f(x)與函數f(x)直接成比例關係，按常數c^(-k)縮放。因此，具有特定縮放指數的所有冪定律在恆定因子前都是等效的，因為每個定律都是其它定律的縮放形式。當兩個都取對數時，此行為產生線性關係，對數圖上的直線即是冪律的標記。

尺度不變性，又稱標度不變性，英文：scale invariance，在物理學、數學和統計學中，體現冪律對象的一種特徵，表示如果將如長度、能量或其它變量的尺度乘以一個公因子而不會改變的性質，因此代表了普遍性。這樣一種變換的技術術語又稱為擴張（dilation），擴張又可以形成更大的共形對稱性的一部分。

維納過程的尺度不變性

如上圖所示為維納過程的尺度不變性。維納過程，英語：Wiener process，表示數學中一種連續時間隨機過程，得名於諾伯特·維納。由於與物理學中的布朗運動有密切關係，也常被稱為「布朗運動過程」或簡稱為布朗運動。維納過程是萊維過程（指左極限右連續的平穩獨立增量隨機過程）中最有名的一類，在純數學、應用數學、經濟學與物理學中都有重要應用。

在數學中，尺度不變性通常是指單個函數或曲線的不變性。密切相關的概念是自相似性，其中函數或曲線在擴張的離散子集下是不變的。隨機過程的概率分布也有可能顯示這種尺度不變性或自相似性。在經典場論中，尺度不變性通常適用於擴張條件下整個理論的不變性。這樣的理論通常描述沒有特徵長度尺度的經典物理過程。在量子場論中，尺度不變性用粒子物理學來解釋，粒子相互作用的強度不取決於所涉及粒子的能量。在統計力學中，尺度不變性是相變的特徵。關鍵觀察結果是，在相變或臨界點附近，所有長度尺度上都會出現波動，因此人們尋找一種明確的尺度不變理論來描述這種現象。這樣的理論是尺度不變的統計場論，在形式上與尺度不變的量子場論相似。尺度不變性的普遍性體現在是觀察到的相差很大的微觀系統，在相變時可以顯示相同行為。許多不同系統中的相變可通過相同的基本尺度不變理論來描述，通常無量綱的數量是尺度不變的。

冪律是自然界中的一個普遍規律，普遍應用於物理學、純數學、應用數學、經濟學、統計學、生物學、社會科學、神經科學、人工智慧等許許多多領域中，至今已經確定了成百種冪律分布。下面僅列舉一些應用實例。

天文學：克卜勒第三定律、恆星的初始質量函數、宇宙射線核的能譜、M-sigma 關係；

心理學：著名的史蒂文斯的心理物理學定律：按標準測定一定感覺大小的法則，知覺的心理強度為物理強度的指數函數；犯罪心理學中每個刑事罪犯的指控數；

物理學：初始質量函數、牛頓萬有引力定律和靜電學的平方反比定律、抗震阻尼器演算中的阻尼力與速度的關係、描述應力及應變的蘭貝格-奧斯古德關係、史蒂芬-波茲曼定律、電位勢和引力位、凡德瓦爾力模型、簡諧運動的力和位能、關於光的強度和電壓的伽瑪校正；

生物學：動物的新陳代謝與體形相關的一般測長的克萊伯定律、關於平均人口規模和人口的差異大小生態學的泰勒定律、神經元雪崩、淡水魚類進化枝中的物種豐富度（物種數）；

氣象學：大雨粒度的大小、旋風的能量消散、地球和火星上的塵捲風暴的直徑；

普通科學：指數增長和隨機觀察、通過創新的指數增長和指數傳播所取得的進展、高度優化的公差、經驗曲線效應的擬議形式、流數定律和流長定律（描述河流系統的霍頓定律，描述城市人口的吉卜拉特定律）、書目和文本中單詞的出現頻率（齊普夫定律）、涉及暴力衝突嚴重程度的理查森法則、計算機中央處理器CPU的高速緩存大小與其遺失次數間的關係；

人工智慧：深度神經網絡權矩陣的頻譜密度、自然語言處理的齊夫定律、最新的研究中有：現場快速地制定決策技能、描述不同的動態規則和網絡體系結構、在不同的檢查分類或決策問題之間進行分類和層次創建等；

數學：分形、帕累託分布和帕累託原理、齊夫定律、Zeta離散分布、Yule–Simon離散分布、學生連續t分布、洛特卡定律、無標度網絡模型；

經濟學：一個地區或城市網絡中城市人口規模的齊夫定律、按藝術品平均價格的分配情況、市場經濟中的收入分配、銀行網絡統計中的程度分布等；

金融：對數中間價格的平均絕對變化、期貨交易中隨時間的合約規模，最大價格變動幅度，基於directional change的交易策略的平均等待時間，過衝（overshoot）的平均等待時間。

冪律的足跡四處可見、應用廣泛。也許，有一天，在你的生活與工作中，你也還可能會發現更多的冪定律法則。

#科學#

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