費馬:猜想還在繼續 - 遇見數學

2020-12-04 遇見數學

話說費馬提出費馬大定理，大約是在1637年閱讀丟番圖的《算術》時挑釁般地在書的空白處寫著：其內容可用字母表示為

an+bn≠cn（n>2的整數；a,b,c為正整數）

之後寫到可惜書的空白處不夠寫，就撩下了這麼個大定理。

猜想的提出

費馬是一位業餘數學家，在數學領域裡被譽為「業餘數學之王」，在他逝世後，人們在整理他的書稿時發現了這個猜想，因為他巨大的影響力，以「費馬大定理」之名公布，之後，從他的描述語境中，數學家們試圖重塑他的或是找到猜想的證明過程，不服氣的專業數學家們幾乎所有的都有研究過，甚至其他科學家，但都沒能得出結果，時隔356年，直到1993年，安德魯·懷爾斯才完整地證明了這一定理。1995年懷爾斯發表了他的論著，因此他獲得很多榮譽，包括1998年的菲爾茲獎，然而當年懷爾斯在獲得菲爾茲獎後演講時最後說道：費馬要麼是個天才，要麼是個瘋子，因為證明過程所用的方法是費馬逝世後幾百年才出現的。

在這之前，據說不差錢的普林斯頓大學，針對費馬大定理的證明不惜重金支持數學家們力圖重現費馬當時的思想，因此更加激勵了數學家們的興趣，以至於這一猜想的影響力是如此之大。之後，人們對這一猜想的興趣濃厚不減，有人做了大量檢索，發現當 n≥5 時，即使 a＜b＜c 為3個連續正整數，an+bn 都小於 cn，現在看來，要麼費馬就是知道了an+bn＜cn，證不證我猜想的是對的，除了 n=3、4 需要特別證明，其它任何 an+bn 是不可能等於 cn 的，證明這個可就簡單多了，然而在後世的幾百年裡，這可苦了不少的數學家以及數學愛好者們。

歐拉的研究

費馬大定理提出一個世紀以後，大數學家歐拉誕生了，得知這一猜想後的他出馬了，他所採用的方法是：挨個去證明。

1753年歐拉證明了n=3是對的，然而在研究費馬大定理的時候歐拉又引出了一個猜想：說每個大於2的整數n，任何n-1個正整數的n次冪的和都不是某個正整數的n次冪，即

其中的 n=3 時就是費馬大定理中的一個方程，歐拉證明了這一方程沒有正整數解，繼而提出了上述猜想。後來歐拉捨棄了這一研究，直至過了兩個世紀後，到了1966年數學家們才找到了 n=5 時的反例：

275+845+1105+1335=1445

證明歐拉猜想是錯的。L.J.Lander和T.R.Parkin發表的、也是史上最短的論文。

後來，數學家證明 n=4 時方程有無數個解，藉助計算機的幫助得到了這樣的等式：

958004+2175194+4145604=4224814

這也是迄今發現的n=4最小的等式。然而直到現在，當n＞5時沒法證明歐拉猜想是否正確，也沒能找到一個反例。

現在的問題

歐拉的猜想還未證明，新的猜想又被提出。歐拉證明

a3+b3≠c3

那麼，

a3+b3+c3=d3

有這樣的正整數等式嗎？還真有這樣的等式，且形如這樣的等式不止一個，下表是100以內的所有等式：

那麼問題來了：

1.形如

a3+b3+c3=d3

這樣的等式是否有無數組正整數？如何證明？

2.就像勾股定理一樣，是否有一個通項公式，任意給出3個正整數，就能求出這樣一組等式？

3.既然有

a3+b3+c3=d3

那麼

a4+b4+c4+d4=e4

有沒有這樣的等式呢？那麼5次方6次方呢？或者說我們把這一問題推廣到一般形式：n個正整數的n次冪是某個正整數的n次冪，即

這樣的話，n=1、2、3都是正確的，這使得我們認為這一猜想是正確的，但有人做過4次方的運算，至今還沒有找到一個例子，也還沒有人做過大於4的計算。

這些問題是特別枯燥的，但是其中的公式等式卻非常的美，比如

32+42=52

33+43+53=63

這都堪稱完美的數學等式，這種美妙襯託著自然科學的魅力，至於在數學當中有怎樣的應用？前者是勾股定理，在歐幾裡得幾何中有著廣泛的應用，這一定理普遍到幾乎所有人都知道，至於後者，還需待進一步的研究。

數論是研究整數性質的一門學科，由於在這一領域裡提出的問題比較簡明易懂，能夠吸引人們的注意，而在解決問題的過程中，往往需要研究者拓開思路、獨闢蹊徑，找到新的方法，這是對人類智慧的真正挑戰，最終可能會發現新的數學理論而得到實際應用。(完)

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