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數學發展到今天，既枝葉繁茂又根深蒂固;其每個分支都有自己的基本問題。但就整個數學而言，最最根本的莫過於「數」。回答數是什麼的問題，應該說是數學家們最為根本的目的。美籍德國數學家理查·科朗特曾說過：「數是近代數學的基礎。雖然希臘人曾把點和線等幾何概念作為他們的數學基礎，但所有的數學命題最終都應歸結為關於自然數1、2、3……的命題。這一點已變成了現代數學的指導原則。」
關於數，人們曾提出過許許多多的問題，有的已經獲得解決，有的至今依舊是謎，我們習慣上稱其為「猜想」(也稱猜測、假設、問題等)。為了將其破解，一代代、一批批數學家們，通過自己的努力，極大地革新並豐富了數學的內容與方法。對於數學猜想之於數學發展的作用，德國數學家和物理學家卡爾·高斯有言：「若無某種大膽果敢的猜想，一般是不可能有知識進展的。」數學知識的進展往往會促進科學的發展，乃至喚起科學的革命。可以說，數學猜想是推動科學發展的強大動力之一。
數學猜想是根據已知條件的數學原理對未知的量及其關係的似真推斷，它既有邏輯的成分，又含有非邏輯的成分，因此它具有一定的科學性和很大程度的假定性。這樣的假定性命題是否正確，尚需通過驗證和論證。雖然數學猜想的結論不一定正確，但它作為一種創造性的思維活動，是科學發現的一種重要方法。數學猜想由前提和結論兩部分組成。它以已有的部分事實和正確的數學知識(公理、定理、公式等)為前提,以在前提的基礎上作出的假定性的判斷為結論。
數學猜想有的被驗證為正確的(如費馬猜想、卡塔蘭猜想、龐加萊猜想等)，並成為定理;有的被驗證為錯誤的(如歐拉猜想、馮·諾伊曼猜想等);還有一些正在驗證過程中(如黎曼假設、孿生素數猜想、哥德巴赫猜想等)。可以說，數學猜想的解決對於數學發展所帶來的影響，不僅在於猜想本身的被證明或證否，解決數學猜想過程中所採用的創新研究方法，也是數學發展的重大影響因子。
數學猜想一般都是經過對大量事實的觀察、驗證、類比、歸納、概括等而提出來的。這種從特殊到一般，從個性中發現共性的方法是數學研究的重要動力。數學猜想的提出與研究，生動地體現了辯證法在數學中的應用，極大地推動了數學方法論的研究。此外，數學猜想往往成為數學發展水平的一項重要標誌：費馬猜想產生了代數數論;龐加萊猜想有助於人們更好地研究三維空間;哥德巴赫猜想促進了篩法和圓法的發展，尤其是發現了殆素數、例外集合、小變量的三素數定理等;黎曼假設使素數定理得到證明以及橢圓曲線技術應用於加解密、數字籤名、密鑰交換、大數分解和素數判斷等;四色問題通過電子計算機得以解決，從而開闢了機器證明的新時代。從這個意義上講，數學猜想不僅是一顆顆「璀璨豔麗的寶石」，而且是一隻只「能生金蛋的母雞」。
數學猜想是以一定的數學事實為根據，包含著以數學事實作為基礎的可貴的想像成分;沒有數學事實作根據，隨心所欲地胡猜亂想得到的命題不能稱之為「數學猜想」。數學猜想通常是應用類比、歸納的方法提出的，或者是在靈感中、直覺中閃現出來的。例如，中國數學家和語言學家周海中根據已知的梅森素數及其排列，巧妙地運用聯繫觀察法和不完全歸納法，於1992年正式提出了梅森素數分布的猜想(即周氏猜想)。
數學猜想成千上萬。年年都有不少猜想被提出，也有不少猜想被破解。還有一些重量級的猜想，讓數學家們絞盡腦汁，但迄今尚未被破解;要想破解它們，不僅需要紮實的數學基礎、過人的思維能力和頑強的拼搏精神，還需要對前人所做種種嘗試的系統了解。學界有個說法：全世界適合去攻克這些猜想的人不超過100個，那都是具有百分百天賦的數學家。因此普通數學愛好者不要盲目求解，否則就會做「無用功」。
重賞之下，必有勇夫。2000年3月，英國費伯出版社和美國布盧姆斯伯裡出版社宣布了一條消息：誰能在兩年內破解哥德巴赫猜想，可以得到100萬美元的獎金。其實這兩家出版社是為了給希臘作家阿波斯託洛斯·佐克西亞季斯的小說《彼得羅斯大叔和哥德巴赫猜想》做宣傳而作出這一決定的;這難免給人一種譁眾取寵之感。雖然全球有不少人(幾乎是民間數學愛好者)聲稱已破解這一謎題，但迄今為止還沒有人能解開此謎。順帶一提，秘魯數學家哈拉爾德·赫爾弗戈特最近在巴黎高等師範學院宣稱：證明了一個「弱哥德巴赫猜想」，即「任何一個大於7的奇數都能被表示成3個奇素數之和」。 其證明是否成立，還有待專家考證。
2000年5月，美國的克雷數學基金會在巴黎法蘭西學院宣布了一件被全球媒體炒得火熱的大事：對7個「千年數學難題」的每一個懸賞100萬美元，限期為100年;附加的條件是，相關的論文必須在世界性的專業雜誌發表，在兩年內如無異議才發給獎金。這7個難題都是關於數學基本理論的，但它們的解決將對數學理論的發展和應用的深化產生巨大推動。這些難題分別是：BSD猜想、NP完全問題、霍奇猜想、龐加萊猜想、黎曼假設、楊-米爾斯理論和納衛爾-斯託可方程。德國數學學會(DMV)理事長哥內託·施特洛特認為，別說100萬美元，就是1億美元的重賞也未必會加快難題的解決。真沒想到俄羅斯數學家格裡戈裡 佩雷爾曼於2003年就破解了龐加萊猜想，但這位對名利不感興趣的天才拒絕了領賞，另外他還拒領有「數學諾貝爾獎」之稱的菲爾茨獎。
美國數學學會(AMS)今年6月向外界宣布，如果有人能破解比爾猜想，那麼美國得州銀行家安德魯·比爾將獎勵給這個人100萬美元。比爾是一名自學成才的數學家。1993年，比爾在研究了費馬猜想後，提出了自己的猜想，並以自己的名字命名。他在1997年出資成立了比爾獎金，獎勵給能破解比爾猜想的人，當年的獎金為5000美元，隨後金額逐漸提升。AMS將以信託形式持有這筆獎金，一旦有人能夠提供證明或是反例，並將自己的研究成果發表在同行評審的雜誌上，在兩年內無異議，就可以拿到這筆獎金。AMS發言人麥可·布倫稱，該猜想比另一個與之相關的費馬猜想更難解決，後者經過300多年才被英國數學家安德魯·懷爾斯證明。
數學猜想無論是重量級的還是輕量級的，是有賞的還是無賞的，都能夠強烈地吸引人們全身心投入，積極開展相關研究，從而強力推動數學發展。數學猜想之所以引人入勝，是因為即便依賴超級電子計算機等現代數學研究工具，也未必能夠解決。例如，黎曼假設如今靠計算機已經驗證了10萬億次以上，一個反例都沒有，但對於這一猜想的幫助從嚴格意義上來說等於0;因為計算機能做的也只有無限制的驗證，而無法實現嚴格的推導過程。
數學既是關於已知的，又是關於未知的。數學猜想架起了從已知到未知的橋梁;而破解數學猜想，正是數學家們一直在追求的目標。最後，引用德國數學家大衛·希爾伯特的一句名言來結束本文：「我們必須知道，我們必將知道。」(張濤)
作者：張濤 日本京都大學博士後