助力初三學子備戰中考——2020中考數學熱門考點:費馬點問題

2021-01-09 鳥叔數學課堂

離2020中考數學還有兩個多月的時間，為幫助初三學子從容複習，鳥叔整理中考數學熱門考點之費馬點問題，供大家免費學習、交流！

ps：文末有福利哦

皮耶·德·費馬，17世紀法國數學家，有「業餘數學家之王」的美譽，之所以叫業餘並非段位不夠，而是因為其主職是律師，兼職搞搞數學．費馬在解析幾何、微積分等領域都有卓越的貢獻，除此之外，費馬廣為人知的是以其名字命名的「費馬小定理」、「費馬大定理」等．

皮耶·德·費馬

據說費馬在提出「費馬大定理」時，在筆記本上寫道：我已經想到了一個絕妙的證明方法，但是這個地方不夠寫，我就不寫了吧。看得出那個時候紙確實挺貴的，然後，直到1995年，才由英國數學家懷爾斯證明出，而距離費馬逝世，已經過去了330年．

果然，數學搞得好的都是牛人．

言歸正傳，今天的問題不是費馬提出來的，是他解決的，故而叫費馬點．

【問題描述】

在△ABC內找一點P，使得PA+PB+PC最小．

【分析】在之前的最值問題中，我們解決的依據有：兩點之間線段最短、點到直線的連線中垂線段最短、作對稱化折線段為直線段、確定動點軌跡求最值等．

其實理論還是上面的理論，本題難點在於有3條線段，我們需要對這三條線段作一些位置上的變化，如果能變換成在一條直線上，問題就能解決了！

若點P滿足∠PAB=∠BPC=∠CPA=120°，則PA+PB+PC值最小，P點稱為該三角形的費馬點．

接下來討論3個問題：

（1）如何作三角形的費馬點？（是什麼）

（2）為什麼是這個點？（為什麼）

（3）費馬點怎麼考？（怎麼辦）

01 如何作三角形的費馬點？

問題要從初一學到的全等說起：

（1）如圖，分別以△ABC中的AB、AC為邊，作等邊△ABD、等邊△ACE．

（2）連接CD、BE，即有一組手拉手全等：△ADC≌△ABE．

（3）記CD、BE交點為P，點P即為費馬點．（到這一步其實就可以了）

（4）以BC為邊作等邊△BCF，連接AF，必過點P，有∠PAB=∠BPC=∠CPA=120°．

在圖三的模型裡有結論：

（1）∠BPD=60°；

（2）連接AP，AP平分∠DPE．

有這兩個結論便足以說明∠PAB=∠BPC=∠CPA=120°．

原來在「手拉手全等」就已經見過了呀，只是相逢何必曾相識！

但是在這裡有個小小的要求，細心的同學會發現，這個圖成立的一個必要條件是∠BAC<120°，若∠BAC≥120°，這個圖就不是這個圖了，會長成這個樣子：

此時CD與BE交點P點還是我們的費馬點嗎？

不不不，這時候就不是了，顯然P點到A、B、C距離之和大於A點到A、B、C距離之和．

是的，你想得沒錯，此時三角形的費馬點就是A點！

02 為什麼是這個點？

為什麼P點滿足∠PAB=∠BPC=∠CPA=120°，PA+PB+PC值就會最小呢？

歸根結底，還是要重組這裡3條線段：PA、PB、PC的位置，而重組的方法是構造旋轉！

在上圖3中，如下有△ADC≌△ABE，可得：CD=BE．

類似的手拉手，在圖4中有3組，可得：AF=BE=CD．

很巧，它們仨的長度居然一樣長！

更巧的是，其長度便是我們要求的PA+PB+PC的最小值，這一點是可以猜想得到的，畢竟最小值這個結果，應該也是個特別的值！

接下來才是真正的證明：

考慮到∠APB=120°，∴∠APE=60°，則可以AP為邊，在PE邊取點Q使得PQ=AP，則△APQ是等邊三角形．△APQ、△ACE均為等邊三角形，且共頂點A，故△APC≌△AQE，PC=QE．

以上兩步分別轉化PA=PQ，PC=QE，故PA+PB+PC=PB+PQ+QE=BE．

沒有對比就沒有差別，我們換個P點位置，如下右圖，同樣可以構造等邊△APQ，同樣有△APC≌△AQE，轉化PA=PQ，PC=QE，

顯然，PA+PB+PC=PB+PQ+QE>BE．

還剩下第3個問題！

如果說費馬點以前還算是課外的拓展內容，那現在，已經有人把它搬上了中考舞臺！

03 費馬點怎麼考？

看看今年2019武漢中考填空最後一題：

問題背景：如圖1，將△ABC繞點A逆時針旋轉60°得到△ADE，DE與BC交於點P，可推出結論：PA+PC=PE．

問題解決：如圖2，在△MNG中，MN=6，∠M=75°，MG=4倍根號2，點O是△MNG內一點，則點O到△MNG三個頂點的距離和的最小值是______．

【分析】本題的問題背景實際上是提示了解題思路，構造60°的旋轉，當然如果已經了解了費馬點問題，直接來解決就好了！

如圖，以MG為邊作等邊△MGH，連接NH，則NH的值即為所求的點O到△MNG三個頂點的距離和的最小值．（此處不再證明）

過點H作HQ⊥NM交NM延長線於Q點，

根據∠NMG=75°，∠GMH=60°，可得∠HMQ=45°，

∴△MHQ是等腰直角三角形，∴MQ=HQ=4，∴NH=2倍根號29．

【練習1】

如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=AC=1，P是△ABC內一點，求PA+PB+PC的最小值．

【分析】如圖，以AD為邊構造等邊△ACD，連接BD，BD的長即為PA+PB+PC的最小值．至於點P的位置？這不重要！

如何求BD？考慮到△ABC和△ACD都是特殊的三角形，過點D作DH⊥BA交BA的延長線於H點，根據勾股定理，BD=BH+DH即可得出結果．

【練習2】

如圖，已知矩形ABCD，AB=4，BC=6，點M為矩形內一點，點E為BC邊上任意一點，則MA+MD+ME的最小值為______．

【分析】依然構造60°旋轉，將三條折線段轉化為一條直線段．分別以AD、AM為邊構造等邊△ADF、等邊△AMG，連接FG，

∴ME+MA+MD=ME+EG+GF

過F作FH⊥BC交BC於H點，線段FH的長即為所求的最小值．

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