費馬到底有多厲害,隨手一條註記就引領了數學界350多年!

話說，費馬同志在創造出解析幾何這個全新工具以後，也從未改變自己在數學方面的研究習慣。他仍然不怎麼出去應酬，也不怎麼把加官進爵作為奮鬥目標，他仍然活在自己創建的數學世界裡，默默鑽研，耕耘著。如此有節制的生活，讓他燦爛的結果尤為不停止。

費馬大法官

費馬素數猜想

比如，他畢生都在數論這個研究領域孜孜不倦，甚至有許多數學史專家認為，費馬創立了現代數論。他就特別喜歡擺弄數字，然後從這一堆數字裡推測其中隱藏的奧秘。還記得那個讓25歲歐拉一舉解決的費馬數難題嗎？1640年，39歲的費馬發現下面這幾個同樣形式的數字：

費馬素數猜想

這裡的F0到F4都是素數，費馬太相信自己在數學方面的直覺了，於是就判定，凡是滿足這種形式的數字都是素數。由於接下來的F5實在太大，在一百多年時間裡都沒人驗算或證明。直到歐拉以巧奪天工的手法切割分解了F5=4294967297=641×6700417，也就宣告了費馬對於素數的這個猜想不成立。有意思的是再後來人們就再也沒有發現新的費馬素數了，也就是說費馬實在太走運了，費馬素數有且僅有費馬本人發現的那幾個，真是很有意思。雖然費馬的這個關於素數的猜想是錯誤的，但是卻一點也不影響著費馬在數論領域的地位，事實上，一個能犯這樣偉大錯誤的人也是相當不簡單的，費馬仍然是那個潛伏在律師隊伍裡的高高手。

相親數

在文藝復興以前，古希臘一直都是世界數學中心，在那片神奇的土地上發現的許多數學成就一直深深影響著後世所有的數學家。比如他們喜歡去找各種各樣神奇的數字。完全數：一個數的真約數之和等於其自身。6=1+2+3,28=1+2+4+7+14等等；相親數：兩個數的真約數之和等於對方，第一對相親數是220和284，是相親數誕生之初就找到的，1＋2＋4＋5＋10＋11＋20＋22＋44＋55＋110=284，l＋2＋4＋71＋142＝220；

相親數 掛飾

這對數字看起來相當有趣，仿佛你中有我，我中有你，實在是愛情的絕佳表達。220和284早已發現，但是這第二對相親數卻是耗費了相當長的時間，1636年，費馬在歷史上第二次給出了嶄新的相親數，17296和18416。前後兩對相親數發現的時間居然間隔了2000多年，實在是太過誇張了。費馬在17世紀，自己單槍匹馬，並且獨立發現了這個古老的數字，功勞的確不小，他也掀起了相親數研究的熱潮。在費馬之後，笛卡爾，歐拉等大神都陸續在這方面繼續探索。

當然事實上，第二小的相親數卻不是費馬找到的那個，而是1866年，年方16歲的義大利青年巴格尼尼，發現1184和1210也是一對相親數。值得一提的是，這對第二小的相親數接連從費馬，笛卡爾，歐拉這些超級大神手中溜走，實在是太過幸運，而這也是科學史上最著名的撿漏事件之一。這位義大利青年也因為這個成就，永遠記錄在數學史冊上了。

笛卡爾

前面說到，費馬這個人平時沒什麼愛好，也不喜歡出去應酬，為了自己仕途而奔波，在職場表現相當佛系。那他下班之後都做些什麼呢？就是自己一個人琢磨一些有意思的題目，有的時候自己玩玩數字，把計算當做一種生活樂趣，比如他前面找相親數的那個過程，在沒有相親數公式之前，他居然可以一直計算到五位數，這個工作量真心不小。不過曉然菌想，費馬一定不會覺得這個過程很無聊。

古希臘的文明典籍曾經毀於一旦

他尤其愛鑽研那些先賢們殘存下來的經典，這裡指的基本上都是古希臘諸位大師們的著作。想當年，古希臘最重要的圖書館——亞歷山大圖書館。這裡藏書極為豐富，涵蓋了哲學、詩歌、文學、醫學、宗教、倫理和其他科學著述和孤本，總數在70萬卷以上。甚至可以這麼說，這座空前的圖書館幾乎聚集了當時人類所有的知識精華，是人類文明的最高代表。亞歷山大圖書館迅速成為當時的科學、文化、哲學、藝術的知識寶圖書館庫與傳播站，並持續數百年。

亞歷山大圖書館內部想像圖

然而天有不測風雲，在7世紀時，亞歷山大圖書館卻遭遇了滅頂之災，圖書館被當時橫跨歐亞非三大洲的拜佔庭帝國皇帝下令，把任何與《古蘭經》相同的和不同的書籍都毀掉。你說這叫什麼命令，乾脆直接說燒掉整個圖書館算了，在這位昏庸無知的統治者的命令下，所有的館藏圖書都被提供給了城裡約4000個澡堂做燃料，足足燒了6個月之久！

亞歷山大圖書館 現在建築

這樣一場浩劫，使得古希臘的璀璨的文明記載幾乎毀於一旦。後來的人們好不容易開始恢復這些燒掉了的這些然而這還沒完，文藝復興時期，阿拉伯帝國為了籌措資金與十字軍戰鬥，不惜變賣了館內超過200萬冊的圖書來充當軍餉！這是什麼樣子的統治者才能幹出這種事。

雖然很痛心疾首，但是這個古代最偉大的圖書館終究是被毀了。許多著作失傳，也有很多科學家，哲學家僅僅只是留下名字而已，生平事跡再也沒人知道了。

歐幾裡得 著作流失嚴重

比如古希臘的歐幾裡得大師，他一生著書無數，然而流傳下來的只有《幾何原理》和另外一本幾何著作《已知數》，其他作品全部失傳。這些失傳了的作品裡肯定還有相當輝煌的成就，可惜就這樣湮沒在歷史洪流之中了。再比如古希臘著名數學家丟番圖，幾乎就只流傳了一部《算術》，其餘作品早已不復存在。

拜佔庭帝國首都 君士坦丁堡

曾經有人評價到，在古希臘文明沒落之後，人類總共花了將近2000年才逐步把失去的希臘數學全部找回來！費馬就是最後一批找回古希臘數學的人。

費馬通過《算術》給出費馬大定理

1637年，費馬在鑽研丟番圖的《算術》一書，這本書是拉丁文譯本，不過對於語言天才費馬來說，閱讀起來毫不費力。他如饑似渴地汲取著這裡面被人遺忘了的數學經典中的營養，然而他在閱讀到第11卷第8題時停下了。

丟番圖的《算術》

費馬讀書的時候有個不好不壞的習慣，在遇到自己感興趣的章節，就會不自覺地在這些地方留下自己的註記，你說解答方法也好，說隨手塗抹也罷。可能費馬自己不覺得有什麼特別之處，可是這裡有一個註記卻讓整個數學界忙活了350多年！

回到費馬專心研究丟番圖的《算術》一書上來，這部著作是丟番圖一生最重要的創造，後來的許多學者認為這部書可以與《幾何原本》相媲美。在這部書裡，丟番圖仔細探討了許多關於方程的問題，尤其是重點探討了形如

丟番圖探討過的方程

丟番圖探討了，n=1,n=2,n=-1,k=-2等幾種情況。突然，費馬同志靈光一現，他令人動容地察覺到，如果這裡的k大於等於3時，該方程還有沒有整數解呢？於是費馬自信滿滿地寫下在這本拉丁文譯本的《算術》書第11卷第8題空白處寫下：

「將一個立方數分成兩個立方數之和，或一個四次冪分成兩個四次冪之和，或者一般地將一個高於二次的冪分成兩個同次冪之和，這是不可能的。關於此，我確信已發現了一種美妙的證法 ，可惜這裡空白的地方太小，寫不下。」

上面的第一句話，就是舉世聞名的費馬大定理，當然在這個還沒有確切證明的年代就把這一一個猜想叫作定理是不嚴謹的，這個應該叫作費馬猜想。但是考慮到費馬這位神人在數學上給出的猜想基本上都是對的，除了那個關於費馬素數的猜想錯的離譜以外。而人們之所以願意相信這個命題成立的根本原因是他的後一段話「我發現了一種美妙證法，但是這裡空白太小，寫不下。」

費馬曾經給出的註記

其實如果是在數學上有一般水平的普通人，是根本不敢做出如此判斷來的，因為當k=2時，上面的那個方程的解就是勾股數，自然是有無數組解的。你憑什麼就那麼堅信k=3時永遠找不到整數解呢？自信來自哪裡呢，難道是神來之自信麼？

在費馬那個時代很多人受到這後半句話的蠱惑，以為這裡充其量只是一道可以用來跟別人PK的數學題目而已，並不是什麼太過高深的難題，畢竟這個題目看起來是如此地簡單明了。普通人理解起來也不會有任何難度，可是還是有人準備逐步試探這個猜想正確性如何，他們做的工作真心不少。因為這個方程裡有4個未知數，而且涉及到開方運算，在用紙筆的時代還是相當繁瑣的。

費馬

可是人們真的發現不管怎麼找，就是找不到可以滿足上述等式的正整數，唯一接近等式成立的式子是下面這個。

差點成為費馬大定理反例的等式

為什麼就不能兩邊相等呢？偏偏要相差1，真是太遺憾了！在經歷相當多的驗算之後，人們越來越灰心喪氣，都開始放棄了手動驗算來找反例，轉而開始從理論上證明這個猜想了。

人們起初根本就沒把這個猜想放在心上，歷史上許多有相當成就的數學大師們心想，費馬都可以認為已經找到了一種美妙解法，我為什麼就不行呢？費馬最後猜想一定沒有這麼難，、。本來心態好是一個很好的事情，但是錯誤估計了一個問題的難度，卻會讓這份良好心態遭受到連綿不絕地打擊。於是我們就看到了下面在費馬大定理的猜想上人們艱難做出的成就。

費馬大定理就是這麼簡約而迷人

費馬大定理理論證明太過困難

在1637年，費馬提出這個大猜想之後，人們就開始準備從理論上進行攻克。可惜啊，這道看似無比簡單的敏體確實如此深刻，深刻到什麼地步呢？直到1753年，歐拉勉強證明出n=3時，費馬大定理成立。歐拉用的方法叫作「無窮遞降法」，巧合的是，費馬本人證明了n=4的情況，他也用到了無窮遞降法。

看起來，這種方法仿佛相當起作用，那什麼是無窮遞降法呢？就是先推導在一般情況下結論成立，然後一步步回推，直到推導出最初的條件就不滿足，從而得出原命題不成立。所以從本質上看，無窮遞降法是另一種反證法。下面我們來用無窮遞降法證明一個經典的結論。

無窮遞降法的簡單應用

當然，歐拉使用的無窮遞降法不可能像上面的那樣簡單極致的樣子，據說歐拉大神的方法邏輯極度複雜。否則，數學界也不可能一百多年了才憋出這樣一個看似不太美麗的證法。

表面上，人們已經證明了n=3,4大定理成立，是不是像普通題目一樣，可以採用數學歸納法來證明到最後呢？看起來很美好，但是實際上根本沒有可能性。1816年，巴黎科學院把費馬大定理的求證簡化到對所有奇素數成立即可，並且設置了大獎和榮譽給與證明者。所謂重賞之下，必有勇夫。從此費馬大定理走上世界舞臺。

費馬大定理的第一個成就也是歐拉做的

一直到1850年，幾乎每隔幾年就會有新的成果出現，在這裡有自學成才的女數學家熱爾曼，她證明了：當n和2n+1都是素數時費馬大定理的反例x，y，z至少有一個是n整倍數。1844年，庫默爾甚至證明了n等於100以內的所有素數時，費馬大定理均成立。當然在這裡也出現了許多烏龍事件，1847年，巴黎科學院的拉梅和柯西均宣稱自己獨立證明了費馬大定理，可是經過後來的人們審查，他們都犯了同樣一個錯誤。就是實數系內的唯一因子分解定理，在複數系內不一定成立。這一條真的具有很強的迷惑性，這兩位大師均在這上面入坑也實在是稀奇，後來柯西拉梅又都撤回了自己的證明論文。

費馬大定理重要貢獻者 熱爾曼

費馬大定理還能救命

時間來到20世紀初，費馬大定理又起波瀾，發生了一件非常勵志的故事。1908年，在德國有個叫沃爾夫斯凱爾的年輕企業家做幹實業掙了很多錢，妥妥的高富帥，酷愛數學。在正直青年的小夥子自然逃不過這愛情的掙扎啊，斯凱爾死心塌地地愛上了一位姑娘。於是他一個勁地向這位姑娘表白，不過斯凱爾先生事業得意，可是情場卻相當不如意。這位姑娘不為所動，並且勇敢地拒絕了他。這下還得了，這小夥子事業有成，年輕有為，唯獨忍受不了的就是失戀的打擊。他竟然想不開，要去為情自殺。

關鍵時候費馬大定理還能救命

這位小夥子果然是一個做事有始有終的人，就連自殺都得列個計劃，按步進行。他準備在某一天的凌晨開槍終結自己，在給自己定的最後一天裡，他先後處吩咐好自己的後事，並且挨個給自己的好朋友寫訣別信。在處理完了所有事情之後，才晚上10點啊，不到自己終結的那個時候，要不找點事情乾乾，打發一下這生命的最後兩個小時。

柯西也研究過費馬大定理

於是小夥子就翻到了一本數學期刊，隨手打開其中一頁，這一頁刊登的是庫默爾的一篇論文，在這篇文章裡，庫默爾詳細解釋了為什麼當年柯西和拉梅關於費馬大定理的證明錯在哪兒了。斯凱爾的數學水平著實不低，他就根據庫默爾的思路去嘗試著理解著論文。不過很快，沃爾夫就發現了庫默爾論文的一個漏洞，直覺上他覺得以自己的水平可以彌補上這個漏洞。於是斯凱爾開始奮筆疾書，重新驗算，在經過層層驗算推理之後，他完全忘記了今夜的使命。等到他最終解決了這個漏洞之後，抬眼一瞧，天已經亮了。

庫默爾

自己就這樣沉浸在數學世界裡，經過這一夜的奮鬥，他也慶幸自己意識到，那個要為愛自殺的決定是多麼愚蠢啊，在數學的世界裡探索是一件多麼動人的事情。數學拯救了他的生命。

他燒毀了所有的訣別信，並且修改了遺囑，他把自己的全部財產，約10萬馬克，大約相當於現在的200萬美元捐給了哥廷根皇家科學院，設立一個獎，獎勵給第一個破解了費馬大定理的數學家，期限為100年，直到2007年截止。

哥廷根大學

至此，費馬大定理的解決，正式走上最後的快車道，與哥德巴赫猜想並駕齊驅，幾乎每隔幾年就會有新的成果出現。直到後來，英國數學家懷爾斯在1995年徹底解決了費馬大定理，也領走了這10萬馬克。

我們的費馬同志啊，300多年前是什麼來自天外的靈感讓你信手寫下那一段不起眼的話「這裡空白太小，寫不下。」你那缺失的空白，無數人奮鬥了終生才終於完滿。費馬大定理的出現極大地激發了人們在數論這一領域上的興趣，人們總是對這些看起來毫無作用的數字遊戲產生了深深地痴迷。迷離在哪兒呢？

費馬大定理的終結者 懷爾斯爵士

曉然菌覺得，這些看似簡單的整數排列組合，表面上看沒有任何技術含量，十個人都可以去理解。但是這些數字遊戲一旦上升到邏輯推理的程度，便立馬露出猙獰面孔來。別說普通人根本不知從何分析，就是頂尖的數論專家對待某些問題時，也要三思而後行，甚至集結全世界所有的頭腦，也要折騰個幾百年才有所成！有些人說這樣做的意義何在？

呵呵，能讓全人類奮起努力去解決的難題，難道這不就是它的意義嗎？