費馬點到底咋回事?其實很簡單,初步掌握它也就半小時

hello，大家好，我是吳老師，助力中考數學，咱們一直在路上！

今天咱們一起來聊一聊很多初中學生都聽說過的費馬點，

了解一下費馬點的背景，定義，推導和應用。

皮耶·德·費馬(Pierre de Fermat)是一個17世紀的法國律師，也是一位業餘數學家。之所以稱業餘，是由於皮耶·德·費馬具有律師的全職工作。他的姓氏根據法文與英文實際發音也常譯為"費爾瑪"(注意"瑪"字)。費馬最後定理在中國習慣稱為費馬大定理，西方數學界原名"最後"的意思是：其它猜想都證實了，這是最後一個。

那麼何為費馬點呢？

答："費馬點"是指位於三角形內且到三角形三個頂點距離之和最短的點。

若給定一個三角形△ABC的話，從這個三角形的費馬點P到三角形的三個頂點A、B、C的距離之和比從其它點算起的都要小。

值得一提的是這個特殊點對於每個給定的三角形都只有一個。

那麼三角形的費馬點有幾種情況呢？

答：這個要分兩種情況。

三個內角都小於120°

若三角形3個內角均小於120°，那麼3條距離連線正好三等分費馬點所在的周角，即該點所對三角形三邊的張角相等，均為120°。所以三角形的費馬點也稱為三角形的等角中心。2.若三角形有一內角大於等於120°，則此鈍角的頂點就是距離和最小的點。

那麼如何來找到費馬點呢？

首先我們來看第一種情況：當三角形的最大內角小於120°時。

證明1

首先任取一個頂點C,然後以C點為旋轉中心，將△CDB 逆時針旋轉60度到△CEF位置。

這樣就通過旋轉構造了全等三角形和一個等邊三角形ECD。

易知DB=EF，DC=CE=DE,所以DA+DB+DC=DA+DE+EF，顯然當A、D、E、F四點共線時，距離之和最短。所以當A、D、E共線時，∠CDA=120°，當D、E、F共線時，∠FEC=∠BDC=120°，所以D點應該對三個頂點的張角都為120°，這就是費爾馬點的位置。

接下來我們再來看看情況二：當△ABC有一內角不小於120°時

證明2

在三角形ABC內任取一點D，然後繞C點逆時針旋轉三角形BDC使得F,C,A三點共線。

所以∠ECD=180°-∠ECF-∠DCA=180°-∠BCD-∠DCA=180°-∠ACB≤60°。

小角對小邊，所以ED≤DC。

所以BD+DC+DA≥EC+ED+DA≥FA。

所以當D在C點時，BD+DC+DA有最小值。即C為費馬點。

綜上所得：我們知道，

當△ABC最大內角小於120°時，F在△ABC內部，且滿足∠BFC=∠CFA=∠AFB=120°;

當△ABC有一內角不小於120°時，F點與最大角的頂點重合。

特別地，如圖，以△ABC的三邊為邊，分別向外作等邊三角形BCD、ACE、ABF，連接AD、BE、CF，則有結論：

（1）AD、BE、CF交於一點P，且∠APB=∠APC=∠BPC=120°，

（2）P到A、B、C三頂點距離的和最小，且PA+PB+PC=AD=BE=CF。

費馬點的另一種找法

這樣去做等邊三角形之後再連接，其實就是前面也講過的手拉手模型，那麼如何來證明呢？

（1）證明：∵AF=AB，∠FAC=∠BAE，AC=AE，∴△AFC≌ABE. ∴CF=BE

同理可證△BCF≌△BDA，CF=AD. ∴AD=BE=CF.

∵△AFC≌ABE ,∴∠AFC=∠ABE,∴∠BPF=∠BAF=60°，∠BPC=120°

同理可證∠APB=∠APC=120°, ∴∠APB=∠APC=∠BPC=120°.

（2）證明並不困難，這裡就不給出證明了，給一點提示：比如在FC上取一點Q，使得FQ=AP。

同樣的咱們來一道例題來練練手：

例題

分析：首先很容易知道三角形ABD是一個等腰三角形，所以它的費馬點肯定在AC這條線段上。然後題目讓求AP+BP+PD的最小值，其實就是問費馬點到三個頂點的距離之和。

根據前面的方法和總結，我們可以以AB為邊往外做一個等邊三角形。

所以由前面的結論很快就知道PA+PB+PD=BD'。而由題幹給出的角度條件，很容易就得出三角形ADD'是一個等腰直角三角形，所以DD'就很容易求出來了。

最後再留一道練習題給各位思考一下，題目不難哦，做出來的可以評論出你的答案。

最後希望本文能對您和初中同學有所幫助，我專注初中數學教育的吳老師。知識需要關注，分享。