費馬(Fermat)引理

2021-02-19 四季果味

費馬（Fermat）引理是實分析中的一個定理，以皮埃爾·德·費馬命名。通過證明可導函數的每一個可導的極值點都是駐點（函數的導數在該點為零），該定理給出了一個求出可微函數的最大值和最小值的方法。因此，利用費馬引理，求函數的極值的問題便化為解方程的問題。需要注意的是，費馬引理僅僅給出了函數在某個點為極值的必要條件。也就是說，有些駐點可以不是極值點，它們是拐點。要想知道一個駐點是不是極值點，並進一步區分極大值點和極小值點，我們需要分析二階導數（如果它存在）。當該點的二階導數大於零時，該點為極小值點；當該點的二階導數小於零時，該點為極大值點。若二階導數為零，則無法用該法判斷，需列表判斷。函數f(x)在點a的某鄰域U（a)內有定義，並且在a處可導，如果對於任意的x∈U（a)，都有f(x)≤f(a) (或f(x)≥f(a) )，那麼f '(a）=0。

設f(x)在ξ處極大，故不論Δx是正或負，總有

設

，

則

。

故由極限的保號性有

（1）

而當

時，

，

故

（2）

由(1)，(2)兩式及

存在知，必有

設f(x)在ξ處最小的情況同理。

方法2

我們證明其逆否命題："若

, 則

非極值。"

不妨設

，

的證明類同。

存在這樣的δ，使得當

<δ時，有

。

當

時，

。

即對任意

，

。

同理可證對任意

，

所以

非極值，得證。

平面反射

平面反射

光從P點出發射向x點，反射到Q點。

P點到x點的距離

，Q點到x點的距離

，從點P到點Q的光程D為

根據費馬原理，光線在真空中傳播的路徑是光程為極值的路徑。取光程

對

的導數，令其為零：

但其中：

即

半球面反射

球面的半徑=R，光線從直徑一端Q射向球面，反射到直徑另一端P，光程：

因：

所以：

根據費馬原理：

解之， 得

，代入D得到：光程

，乃是一個極大值=2.8R；（極小值光程是從直徑一端到Q另一端P，光程=2R）。 [2]



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    ——費馬　　費馬是法國數學家。1601 年8月20日(另一說17日)生於圖盧斯附近的波蒙特；665年1月12日卒於卡斯特爾。　　費馬出生於皮革商人家庭，他在家鄉上完中學後，考入了圖盧斯大學，1631年獲奧爾良大學民法學士學位，畢業後任律師，並擔任過圖盧斯議會議員。雖然數學只是他的業餘愛好，但他對解析幾何、微積分、數論、概率論都作出了傑出的貢獻，被譽為「業餘數學家之王」。
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    編者按：這是一篇關於費馬猜想的簡潔證明，作者證明了兩個引理，一個是洛書定理，即冪尾數周期律，同時還證明了本原解化約律，這是一種回歸本質範疇的優化運算規則，就是把解集歸屬到更大範疇中去，找到解集成立的必要條件是冪尾數周期律。由兩個引理可直接推出費馬猜想成立。
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  • 重視拓展知識點的總結提煉,費馬點問題,王者再度歸來
    什麼是費馬點費馬問題是十七世紀法國數學家、被譽為業餘數學家之王的皮埃爾·德·費馬提出的一個著名的幾何問題。在一個三角形所在平面，找到一點，到三角形三個頂點的距離之和最小。費馬成功的找到了這樣的點，即「費馬點」。費馬點在最新教材中已不再提及，數學老師通常在課堂上作為拓展知識來講解，但正是由於是拓展知識，很多學生不會太重視，甚至當初耳邊風。