費馬，法國業餘數學家，擁有業餘數學之王的稱號，費馬一生從未受過專門的數學教育，數學研究也不過是業餘之愛好。然而，在17世紀的法國還找不到哪位數學家可以與之匹敵：他是解析幾何的發明者之一；對於微積分誕生的貢獻僅次於牛頓、萊布尼茨，概率論的主要創始人，以及獨承17世紀數論天地的人，此外，費馬對物理學也有重要貢獻。一代數學大師費馬堪稱是17世紀法國最偉大的數學家，尤其他提出的費馬大定理更是困惑了世間智者358年。
所謂的費馬點問題就是到三角形的三個頂點的距離之和最小的點。費馬點結論：對於一個各角不超過120°的三角形，費馬點是對各邊的張角都是120°的點；對於有一個角超過120°的三角形，費馬點就是這個內角的頂點。下面給出幾個典型問題，希望大家能夠很好地掌握。
1.小穎在學習「兩點之間線段最短」查閱資料時發現：△ABC內總存在一點P與三個頂點的連線的夾角相等，此時該點到三個頂點的距離之和最小．
【特例】如圖1，點P為等邊△ABC的中心，將△ACP繞點A逆時針旋轉60°得到△ADE，從而有DE＝PC，連接PD得到PD＝PA，同時∠APB+∠APD＝120°+60°＝180°，∠ADP+∠ADE＝180°，即B、P、D、E四點共線，故PA+PB+PC＝PD+PB+DE＝BE．在△ABC中，另取一點P′，易知點P′與三個頂點連線的夾角不相等，可證明B、P′、D′、E四點不共線，所以P′A+P′B+P′C＞PA+PB+PC，即點P到三個頂點距離之和最小．
【探究】（1）如圖2，P為△ABC內一點，∠APB＝∠BPC＝120°，證明PA+PB+PC的值最小；
【拓展】（2）如圖3，△ABC中，AC＝6，BC＝8，∠ACB＝30°，且點P為△ABC內一點，求點P到三個頂點的距離之和的最小值．
【解析】（1）將△ACP繞點A逆時針旋轉60°得到△ADE，可得PC＝DE，再證△APD為等邊三角形得PA＝PD、∠APD＝∠ADP＝60°，由∠APB＝∠BPC＝120°知B、P、D、E四點共線，根據兩點間線段最短即可得答案；
【點評】本題主要考查旋轉變換的性質、全等三角形的判定與性質、等邊三角形的判定與性質等知識點，將待求線段的和通過旋轉變換及全等三角形的性質轉化為同一直線上的線段來求是解題的關鍵．
2．閱讀下列材料：
小華遇到這樣一個問題，如圖1，△ABC中，∠ACB＝30°，BC＝6，AC＝5，在△ABC內部有一點P，連接PA、PB、PC，求PA+PB+PC的最小值．
小華是這樣思考的：要解決這個問題，首先應想辦法將這三條端點重合於一點的線段分離，然後再將它們連接成一條折線，並讓折線的兩個端點為定點，這樣依據「兩點之間，線段最短」，就可以求出這三條線段和的最小值了．他先後嘗試了翻折、旋轉、平移的方法，發現通過旋轉可以解決這個問題．他的做法是，如圖2，將△APC繞點C順時針旋轉60°，得到△EDC，連接PD、BE，則BE的長即為所求．
（1）請你寫出圖2中，PA+PB+PC的最小值為_______；
（2）參考小華的思考問題的方法，解決下列問題：
①如圖3，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，在菱形ABCD內部有一點P，請在圖3中畫出並指明長度等於PA+PB+PC最小值的線段（保留畫圖痕跡，畫出一條即可）；
②若①中菱形ABCD的邊長為4，請直接寫出當PA+PB+PC值最小時PB的長．
即為PA+PB+PC的最小值；
（2）①將△APC繞點C順時針旋轉60°，得到△DEC，連接PE、DE，則線段BD即為PA+PB+PC最小值的線段；
②當B、P、E、D四點共線時，PA+PB+PC值最小，最小值為BD．先由旋轉的性質得出△APC≌△DEC，則CP＝CE，再證明△PCE是等邊三角形，得到PE＝CE＝CP，然後根據菱形、三角形外角的性質，等腰三角形的判定得出BP＝CP，同理，得出DE＝CE，則BP＝PE＝ED＝1/3BD．連接AC，交BD於點O，則AC⊥BD．
在Rt△BOC中，∵∠BOC＝90°，∠OBC＝30°，BC＝4，
3．問題提出
（1）如圖①，已知△OAB中，OB＝3，將△OAB繞點O逆時針旋轉90°得△OA′B′，連接BB′．則BB′＝______；
問題探究
（2）如圖②，已知△ABC是邊長為4的等邊三角形，以BC為邊向外作等邊△BCD，P為△ABC內一點，將線段CP繞點C逆時針旋轉60°，點P的對應點為點Q．
①求證：△DCQ≌△BCP；
②求PA+PB+PC的最小值；
問題解決
（3）如圖③，某貨運場為一個矩形場地ABCD，其中AB＝500米，AD＝800米，頂點A，D為兩個出口，現在想在貨運廣場內建一個貨物堆放平臺P，在BC邊上（含B，C兩點）開一個貨物入口M，並修建三條專用車道PA，PD，PM．若修建每米專用車道的費用為10000元，當M，P建在何處時，修建專用車道的費用最少？最少費用為多少？（結果保留整數）
【解答】問題提出：（1）由旋轉有，∠∠BOB′＝90°，OB＝3，
根據勾股定理得，BB′＝3√2；
問題探究：（2）①∵△BDC是等邊三角形，∴CD＝CB，∠DCB＝60°，
由旋轉得，∠PCQ＝60°，PC＝QC，∴∠DCQ＝∠BCP，
在△DCQ和△BCP中, CD=CB, ∠DCQ＝∠BCP，CQ=CP,∴△DCQ≌△BCP；
②如圖1，連接PQ，∵PC＝CQ，∠PCQ＝60°，∴△CPQ是等邊三角形，
∴PQ＝PC，由①有，DQ＝PB，∴PA+PB+PC＝AP+PQ+QD，
由兩點之間線段最短得，AP+PQ+QD≥AD，∴PA+PB+PC≥AD，
∴當點A，P，Q，D在同一條直線上時，PA+PB+PC取最小值為AD的長，
作DE⊥AB，∵△ABC為邊長是4√3的等邊三角形，
∴CB＝AC＝4√3，∠BCA＝60°，∴CD＝CB＝4√3，∠DCE＝60°，
∴DE＝6，∠DAE＝∠ADC＝30°，∴AD＝12，即：PA+PB+PC取最小值為12；
實際應用：（3）如圖2，
連接AM，DM，將△ADP繞點A逆時針旋轉60°，得△AP′D′，
由（2）知，當M，P，P′，D′在同一條直線上時，AP+PM+DP最小，最小值為D′N，
∵M在BC上，∴當D′M⊥BC時，D′M取最小值，
設D′M交AD於E，∵△ADD′是等邊三角形，∴EM＝AB＝500，
∴BM＝400，PM＝EM﹣PE＝500﹣400√3/3，∴D′E＝√3/2AD＝400√3，
∴D′M＝400√3+500，∴最少費用為10000×（400√3+500）＝1000000（4√3+5）萬元；
∴M建在BC中點（BM＝400米）處，點P在過M且垂直於BC的直線上，且在M上方（500﹣ 400√3/3）米處，最少費用為1000000（4√3+5）萬元．
4.（1）知識儲備
①如圖1，已知點P為等邊△ABC外接圓的BC上任意一點．求證：PB+PC＝PA．
②定義：在△ABC所在平面上存在一點P，使它到三角形三頂點的距離之和最小，則稱點P為△ABC的費馬點，此時PA+PB+PC的值為△ABC的費馬距離．
（2）知識遷移
①我們有如下探尋△ABC（其中∠A，∠B，∠C均小於120°）的費馬點和費馬距離的方法：
如圖2，在△ABC的外部以BC為邊長作等邊△BCD及其外接圓，根據（1）的結論，易知線段____ 的長度即為△ABC的費馬距離．
②在圖3中，用不同於圖2的方法作出△ABC的費馬點P（要求尺規作圖）．
（3）知識應用
①判斷題（正確的打√，錯誤的打×）：
ⅰ．任意三角形的費馬點有且只有一個( )；
ⅱ．任意三角形的費馬點一定在三角形的內部()．
②已知正方形ABCD，P是正方形內部一點，且PA+PB+PC的最小值為，求正方形ABCD的邊長．
【解答】（1）①證明：在PA上取一點E，使PE＝PC，連接CE，
∵△ABC是等邊三角形，∴∠APC＝∠ABC＝60°，
又∵PE＝PC，∴△PEC是正三角形，
∴CE＝CP，∠ACB＝∠ECP＝60°，∴∠ACE＝∠BCP，
又∵∠PBC＝∠PAC，BC＝AC，∴△ACE≌△BCP （ASA），
∴AE＝PB，∴PB+PC＝AE+PE＝AP；
（2）①如圖2，得：PA+PB+PC＝PA+（PB+PC）＝PA+PD，
∴當A、P、D共線時，PA+PB+PC的值最小，
∴線段AD的長度即為△ABC的費馬距離；故答案為：AD；
②過AB和AC分別向外作等邊三角形，連接CD，BE，交點即為P．（3）①ⅰ．（√）；ⅱ．如圖4，點P也可以在三角形的外部；（×）
②解：將△ABP沿點B逆時針旋轉60°到△ABP，
如圖5，過A作AH⊥BC，交CB的延長線於H，連接PP，
易得：AB＝AB，PB＝PB，PA＝P A，∠PBP＝∠ABA＝60°，
∵PB＝PB，∠P1BP＝60°，∴△PPB是正三角形，∴PP＝PB，
∵PA+PB+PC的最小值為√6+√2，∴PA+PP+PC的最小值為√6+√2，
∴A，P1，P，C在同一直線上，即AC＝6+√2，
設正方形的邊長為2x，∵∠A1BA＝60°，∠CBA＝90°，∴∠1＝30°，
在Rt△AHB中，AB＝AB＝2x，∠1＝30°，得：AH＝x，BH＝√3x，
【小結與思考】
通過旋轉變換，可以改變線段的位置，優化圖形的結構。一般地，當題目出現等腰三角形/等邊三角形或正方形條件時，可將圖形作旋轉60°或90°的幾何變換，將不規則圖形變為規則圖形，或將分散的條件集中在一起，以便挖掘隱含條件，從而解決問題。 「費馬點」問題實質就是通過旋轉將三條共頂點的線段轉化在一條折線上，利用「兩點之間線段最短」解決。
我們在數學學習過程中，是否需要「模型」？俗話說「成也模式，敗也模式」，我們掌握一定的模式，能讓我們快速找到解決問題的途徑。如果死守模式，不會融會貫通，也是「假模式」。我們平時教學中的每一道典型例題都是一種模型，取一個好聽的名字只是讓學生好記能「顧名思義」。求線段和最短問題，不管是「將軍飲馬」問題、「胡不歸」問題、「阿氏圓」問題，及「費馬點」問題，本質都是將折線拉直（將直線同一側的兩條線段轉化為直線兩側），再利用「兩點之間線段最短」或「垂線段最短」尋找到答案。