初三數學 中考複習 利用這個方法讓你掌握三角形的費馬點問題

2021-01-09 老Z講數學

#期中考試#費馬點問題呢也是中考數學中常常出現的一類問題，今天呢給大家分享三角形的費馬點問題。

在這裡給大家分享的方法是旋轉變換。通過運用旋轉變換，我們可以將分散的條件集中或轉移，這也是旋轉變換的強大力量的體現。當然這種方法不僅僅在這裡適用，在其他幾何證明中也是經常出現，希望能引起大家的重視。

01例題：費馬點

已知正方形ABCD內一動點E到A、B、C三點的距離之和的最小值為（根號2+根號6）,求此正方形的邊長.

02例題剖析

連接AC，發現點E到A、B、C三點的距離之和就是到△ABC三個頂點的距離之和，最小值為（根號2+根號6），此時這個點E就是△ABC的費馬點.實際上，這就是費馬問題的變形.把△AEC繞點C順時針旋轉60°,得到△GFC，則可以得到△EFC、△AGC都是等邊三角形，則將AE+BE+CE轉化為BE+EF+FG,因為B、G是定點，所以可以利用兩點之間線段最短來解決問題.

03例題詳解

如圖12 - 1,連接AC,把△AEC繞點C順時針旋轉60°,得到△GFC。

圖12 - 1

連接EF、BG、AG,可知△EFC、△AGC都是等邊三角形，即EF=CE.

因為 FG=AE,所以 AE+BE+CE=BE+E+FG.

因為點B、點G為定點（G為點A繞點C順時針旋轉60°所得）,所以線段BG即為點E到A、B、C三點的距離之和的最小值，此時E、F兩點都在BG上。如圖12 -2，

圖12 -2

設正方形的邊長為a ，那麼 BO=CO=（二分之根號2）*a ，GC=（根號2）*a ，GO=（二分之根號6）*a .

所以 BG = BO+GO=（二分之根號2）*a+（二分之根號6）*a.

因為點E到A、B、C三點的距離之和的最小值為（根號2+根號6） ,

所以（二分之根號2）*a+（二分之根號6）*a=（根號2+根號6） ,解得 a =2.

04知識歸納

費馬點就是到三角形的三個頂點的距離之和最小的點.對於一個內角均不超過120°的三角形，費馬點是對各邊的張角都是120°的點，對於有一個內角超過120,的三角形，費馬點就是這個內角的頂點.

費馬點常見的作法是：

以△ABC三邊為邊向外作等邊△ABD、等邊△BCE、等邊△ACF.連接CD、BF、AE交於點P,則點P就是費馬點，如圖12-3.上述作法中，隱藏著旋轉變換，每一條邊向外旋轉60°。

圖12-3

費馬點問題的解決，說明三南形內存在著點到三個頂點的距離和最小，也通過費馬點的證明，讓我們認識旋轉變換的強大力量.運用旋轉變換，可以將分散的條件集中或者轉移，而旋轉的角度是60°,這個旋轉角度的好處在於構造了等邊三角形，將共頂點的三條線段首尾相連，便於問題的解決.

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