望遠鏡是怎麼做出來的？數學家說我只要雙曲線和拋物線就夠了

數學家在研究一個問題時卻得到了意料之外的結果。很多時候，這樣的「副產品」的價值往往會超過原有工作本身。

16世紀，義大利數學家卡丹（Cardano，1501-1576）、邦貝利（Bombelli，1526-1572）等在解「三次方程」時，遇到了「整數可以用含√-1的式子表示」的矛盾，複數因此產生.

17世紀，牛頓（Newton，1643—1727年）發現了廣義「二項式定理」，並無意間將其運用到級數展開、及無窮分析上，直接導致了他的另一項著名成果——「流數法」的發現，也就是我們熟悉的微積分.

牛頓

18世紀，數學家們對歐幾裡得《幾何原本》中的「第五公設」保持瘋狂的研究，不斷的證明、推翻最終導致19世紀「非歐幾何」的誕生。

而在更久遠的古希臘，對著名的「三大作圖」之一——「倍立方」問題的解決則導致了三個重要曲線的發現，它們分別是：拋物線、雙曲線、橢圓.

「倍立方」問題：

能否用尺規作圖的方法作出一立方體的稜長，使該立方體的體積等於一給定立方體的兩倍？

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「倍立方」問題

希俄斯島的希波克拉底（Hippocrates of Chios，前470 -前410 BC）對「化圓為方」和「倍立方」問題都有深入研究，之於前者Hippocrates發現了「月牙定理」。

月牙定理

之於後者，Hippocrates將「倍立方」問題轉化為：找出滿足連比式a/x=x/y=y/2a所表達的曲線。其中，a為已知立方體邊長，x為所求立方體邊長.

作為一個勇敢的拓荒者，Hippocrates在解決「倍立方」問題上所付出的努力，已經為「圓錐曲線」的發現指明了方向。他的繼承者們只要按照指示、稍做努力，就能從這座希望之島上發現無窮的寶藏。亞歷山大大帝的老師，梅內克繆斯 (Menaechmus，約前380–前320) 是第一個擁有高超的洞察力，並有資格繼承Hippocrates研究的人。

一、圓錐曲線的第一個定義

在Hippocrates研究的基礎上，Hippocrates用垂直於母線的平面截正圓錐得到了三個圓錐曲線:錐頂∠BAC為直角時得到拋物線，錐頂∠C'BC為鈍角時得到雙曲線一支，錐頂∠B'CB為銳角時得到橢圓。

這裡將拋物線放在首位，是因為人們首先發現並深入研究的並不是橢圓，而是拋物線。得到了拋物線的同時，Hippocrates還發現在「坐標」的基礎上，其表達式可以表示為：x^2=my. 進一步的，作出兩條拋物線：x^2=ay及y^2=2ax. 其交點P(x,y)的橫坐標x滿足X^3=2*a^3.

邊長為x的正方體體積是邊長為a的正方體的體積的兩倍。「倍立方」問題被解決了嗎？如果不考慮尺規作圖，是的。但是很遺憾，這裡用到了曲線，儘管得到了x的解，可該問題並沒有多大進展，因為此方法已超出了「尺規作圖」的範疇。事實上，後來已被證明，「倍立方」是不能以尺規作出來的.

顯然，Hippocrates也沒能解決「倍立方」問題，但對於數學的意義，其研究所產生的「副產品」——圓錐曲線為數學增添了更多活力。以此為基礎，同一世紀的阿基米德發明了「聚光鏡」成功擊退敵軍，求拋物線下的面積為17世紀微積分的發現提供很好的啟示。以上牛人的發展與創新固然是重要的，但對圓錐曲線研究最徹底的還是下面這位幾何大師。

二、圓錐曲線的雙圓錐截線定義

如果非要為古希臘數學家排名，我想排在前三的一定會是：阿基米德、歐幾裡得和阿波羅尼奧斯。阿基米德（Archimedes，公元前287年—前212年）以《論球和圓柱》等10餘本對純數學及應用數學都影響巨大的數學名著而躋身古今頂級數學家前列；歐幾裡得（Euclid，公元前450-前374年）則憑藉他的演繹式幾何巨著《幾何原本》而大出風頭。

最後一位——阿波羅尼奧斯（Apollonius ，約公元前262～前190年）更是以8卷的《圓錐曲線論》把古希臘數學推向巔峰。Apollonius的工作要點是繼承和推廣了Hippocrates等希臘數學家對圓錐曲線研究，使其更加趨於完善、統一。

Diagram from Apollonius' Conics, in a 9th-century

在定義上，Apollonius使用了共頂點的兩個圓錐，並用不同方向的平面去截圓錐，同樣得到了Hippocrates所發現的三類曲線：

當在曲線上任取一點，縱坐標上的正方形都等於橫坐標與通徑所成矩形時，該曲線為拋物線(Parabola).大於時，該曲線為雙曲線(Hyperbola).小於時，該曲線為橢圓(Ellipsis)。

這裡使用「坐標」一詞並非Apollonius的本意，但他的思想中的確已經有了坐標的思想。用現代符號表示，相當於說當y^2=m*x時，為拋物線；y^2>m*x時，為雙曲線;y^2<m*x時，為橢圓. 等於、大於、小於，Apollonius在給圓錐曲線重新取名字也是很有講究的，如，這裡的Parabola有「貼合」的意思，而Hyperbola、Ellipsis分別可以引申為「超出」和「缺少」，和上面的定義不謀而合。

要知道，數學家處理問題的方式，不僅認真，而且還很有講究。

在給出了圓錐曲線新的構造、定義及命名後，Apollonius不但第一個發現了雙曲線有兩支，而且幾乎討論了圓錐曲線的所有性質，讓後人無法插足.而且目前高中生學習的圓錐曲線幾乎所有幾何內容，都源自《圓錐曲線論》。下面為大家略舉一例。

現在教科書中通用的橢圓/雙曲線的第一定義；「到兩定點[焦點]的距離之和（之差）為定值的點的集合是橢圓（雙曲線）.」（當然，定義中橢圓要求定值大於焦距，雙曲線要求定值小於焦距.）。最早也以定理的形式出現在《圓錐曲線論》中——橢圓/雙曲線的焦半徑之和/差等於長軸長[焦半徑即橢圓上的點到焦點的距離]。

但和其他數學著名一樣，《圓錐曲線論》也留有遺憾。如，該書只是以上面的形式間接的出現了橢圓和雙曲線的「焦點」。對於拋物線，由於沒有關於「準線」的定義及研究，其重要定義「到定點[焦點]的距離等於到定直線[準線]距離的點的集合」在書中並沒有出現。對此，數學史家有兩種截然不同的看法：一種是認為「焦點、準線」等概念被遺漏了，另一種則認為在Apollonius其他的著作中已經有了明確表述，因此就不用在《圓錐曲線論》中贅述了。

不管怎樣，這都是《圓錐曲線論》難以癒合的傷痛。為此，公元3世紀的帕普斯Pappus開了一副良藥——在《數學彙編》中，他補充給出了圓錐曲線的如下性質：到定點（焦點）的距離比上到定直線（準線）的距離為定值（離心率）.並將其歸功於歐幾裡得.

到此為止，圓錐曲線理論算是暫時達到了完美的境地，在接下來一千多年裡，除了在11世紀被海亞姆（Omor Khayyam，1048-1131年）用於求三次方程的根以外，圓錐曲線研究再無新的重要進展，圓錐曲線沉寂了。

海亞姆（Omor Khayyam，1048-1131年）

三、圓錐曲線在實際應用中重生

直到16世紀，天文學、力學、以及光學的重要運用讓圓錐曲線在浴火中重生了。

1609年，德國著名數學家克卜勒（Kepler，1571—1630年）在《新天文學》上發表了他的行星運動定律之「軌道定理」——每一個行星都沿各自的橢圓軌道環繞太陽，而太陽則處在橢圓的一個焦點中。緊接著，伽利略（Galilei，1564-1642年）給出了彈道軌跡是拋物線的結論。

行星運行軌跡——橢圓

17世紀望遠鏡的發明，尤其是1672年卡塞格林（Cassegrain ）的望遠鏡（結合雙曲線、拋物線的光學性質）讓科學更加離不開「圓錐曲線」

卡塞格林望遠鏡

原理

這三項重大應用加上古希臘便已熟知的「聚光鏡」作用，大大增強了人們研究圓錐曲線的好奇心。圓錐曲線研究再次起航。

在同期的1579年蒙蒂（Monte,1545~1607）拋棄了古希臘人的定義方法（截面定義），把橢圓定義為：到兩個焦點距離之和為定長的動點的軌跡。這是我們現在教科書常用的結論，後來被法國數學家洛必達（Hôpital,，1661-1704）引入其著作《圓錐曲線分析》中。但是對於圓錐曲線除了引入概念以外，並沒有更新穎的想法被引入。

洛必達（Hôpital,，1661-1704）

到了17世紀，情況就有所不同了。法國數學家笛卡爾（Descartes，1596—1650年）在研究尺規作圖、帕普斯問題時，將「幾何」與「代數」相融合.費馬（Fermat，1601-1665年）則以《平面與立體軌跡導論》為起點.分別開始了他們的「解析幾何」之旅。

費馬（Fermat，1601-1665年）

這是一場新的革命，之於「圓錐曲線」也是一個新的起點。至此，研究「圓錐曲線」便不再完全依賴於幾何的方法，只要建立直角坐標系，給出一個x與y的二次方程，便能知道對應的曲線是橢圓、雙曲線還是拋物線，甚至它們的一切性質都變得簡單了.

進入18、19世紀，「圓錐曲線」的性質研究沒有更多值得關注的，但至少有一個發現例外。法國數學家丹迪林（Dandelin ，1794 - 1847年）以一種更為直觀的方式呈現了「橢圓」的定義： 在圓錐裡上下各塞進相離內切球，球面與切截平面的切點就是焦點，得到橢圓．

性質幾乎沒有新的發現，但是18以後「圓錐曲線」在應用上卻超乎人們想像：電影放映機的聚光燈、高壓疝氣燈的聚光器、攝影用的「雙葉旋轉雙曲面」、手電筒、探照燈、衛星發射天線......這一切都超出了人們尤其是古希臘先賢們的想像，而且「圓錐曲線」還在不斷拓寬我們的視野。 你覺得「圓錐曲線」將帶給我們的下一個驚喜是什麼呢？

數學，改變了我們的生活，讓我們一起為偉大的數學家們致敬。