159 一些重要的平面曲線(下)
157節介紹了半立方拋物線、擺線、外擺線、內擺線、內旋輪線等曲線。158節介紹了箕舌線、笛卡爾葉形線、阿基米德螺旋線、雙曲螺旋線、連鎖螺旋線、費馬螺旋線、雙扭線、漸開線等曲線。本節繼續介紹曲線，如玫瑰線、心形線、包絡線等平面曲線。
14、玫瑰線
極坐標下的玫瑰線方程為：
下面介紹三葉、四葉、八葉、十六葉及其玫瑰線圖案。
●三葉玫瑰線
方程中，參數a控制葉子的長短，參數n控制葉子的個數、葉子的大小及周期的長短。下圖表示三葉玫瑰線{ρ=5* sin(3*θ)}的參數。其中a=5為包絡圓的半徑，n=3表示其玫瑰花為3葉。
三葉玫瑰線的說明▲
●四葉玫瑰ρ=5* sin(4*θ)
●八葉玫瑰線ρ=5* sin(8*θ)
●十六葉玫瑰線ρ=5* sin(16*θ)
●玫瑰線圖案之一
●玫瑰線圖案之二
●玫瑰線圖案之三
15、心形線
●關於心形線的故事
數學家笛卡爾於1596年出生在法國，歐洲大陸爆發黑死病時他流浪到瑞典，認識了瑞典一個小公國18歲的公主克裡斯汀，後成為她的數學老師，日日相處使他們彼此產生愛慕之心，公主的父親國王知道了後勃然大怒，下令將笛卡爾處死，後因女兒求情將其流放回法國，克裡斯汀公主也被父親軟禁起來。
笛卡爾回法國後不久便染上重病，他日日給公主寫信，因被國王攔截，克裡斯汀一直沒收到笛卡爾的信。笛卡爾在給克裡斯汀寄出第十三封信後就氣絕身亡了，這第十三封信內容只有短短的一個公式：
著名的心形線▲
國王看不懂，覺得他們倆之間並不是總是說情話的，大發慈悲就把這封信交給一直悶悶不樂的克裡斯汀，公主看到後，立即明了戀人的意圖，她馬上著手把方程的圖形畫出來，看到圖形，她開心絕了，她知道戀人仍然愛著她，原來方程的圖形是一顆心的形狀。這也就是著名的「心形線」。國王死後，克裡斯汀登基，立即派人在歐洲四處尋找心上人，無奈斯人已故，先她走一步了，徒留她孤零零在人間,.....。
下面列舉13例心形線及其方程式，這些方程式有的是代數方程式，有的是參數方程，有的是極坐標方程。方程中用到的數學函數有：三角函數、反三角函數、絕對值函數、指數函數、對數函數等。
●心形線①、②、③
標準心形線▲
●心形線④、⑤、⑥
●心形線⑦、⑧、⑨
●心形線⑩、⑪、⑫、⑬
上面最後幾行是繪製該心形線的程序中的主要語句。
●不可能的心形線
關於不可能問題可參考「089 矛盾的空間」。
不可能的心形線▲
16、包絡線
在幾何學，某個曲線族的包絡線，是跟該曲線族的每條線都有至少一點相切的一條曲線。 豎立位置的梯子（直線）滑落到水平位置的過程中，形成一條包絡線，這條包絡線是拋物線，見下圖。在圖中，包絡線與每個位置的直線都有切點。根據直線族可以求得包絡線的方程式，但是推導比較複雜，這裡不再討論。●心形線為線族的包絡線
心形線為線族的包絡線▲
●心形線為圓族的包絡線
心形線為圓族的包絡線▲
●下圖動態演示多個圓形成包絡線（心形線）
動畫演示▲
動畫演示▲
上圖中，有四個圓角的矩形就是三角轉子旋轉時形成的包絡線。
●下圖演示三角轉子發動機的工作原理
動畫演示▲
上圖說明三角轉子發動機的工作原理，同樣有進氣、壓縮、點火、排氣四個衝程。長橢圓形缸體截面線就是三角轉子旋轉形成的包絡線，或者說三角轉子的三個頂點貼著這條包絡線而順利工作。
本節介紹了玫瑰線、心形線和包絡線等曲線，到此平面曲線已介紹完畢。結論是：圖形的奧妙也在於數學。
下節介紹圖形變換與坐標變換。
END
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