具有有限面積的平面封閉圖形,其周長可以無限嗎?

20世紀有4個概念足以影響後世：相對論、量子論、分形、混沌。在一個充滿新奇的分形世界，將不再是歐幾裡得幾何學的直線、圓、長方體等簡單的圖形，而是海岸線、雲彩、花草樹木等複雜的自然形體。傳統的歐式幾何圖形完全無法對分形進行恰當的模擬，因此需要另闢蹊徑和引入新的觀念，從新的角度，提出新的思路和方法。

槓精的產物——病態的曲線

首先拋出一個問題：具有有限面積的平面封閉圖形，其周長是有限的還是無限的？你可能會毫不猶豫地說，周長當然是有限的，那存不存在無限的情況呢？

中學所學的幾何是歐幾裡得幾何，我們習慣使用歐幾裡得幾何範疇內的對象和概念來描述世界。然而在歐氏幾何的範疇內似乎是找不到面積有限、邊長無限的圖形！那找不到就不存在嗎，真的找不到嗎？數學家從來都是槓精，終於1904年瑞典數學家科赫作出了一條「雪花曲線」：曲線所圍圖形的面積是有限的，但其周長卻是無限的。

雪花

雪花曲線的繪製方法：先畫一個等邊三角形，每條邊三等分，取中間那一段並以此為邊畫一個等邊三角形，把三角形重合的部分去掉，由此得到一個六角形，再將這6個角上的小等邊三角形的兩邊按上述同樣方法進行，如此進行下去，曲線就會越來越長，雪花的模樣開始顯現。

雪花曲線

首先來計算雪花曲線所圍圖形的面積，對於每一條邊，每一次迭代都會使得圖形的面積增加1/9，如此進行n次迭代後，雪花曲線所圍圖形的面積為：

雪花曲線所圍面積

類似的還可以得到n次迭代後，雪花曲線的以下幾個指標：

雪花曲線

由此不難看出，在經過無數次迭代後，雪花曲線所圍成圖形的面積為有限，但其周長為無限。

義大利數學家歐內斯託·切薩羅曾對科赫的雪花曲線做過如下描述：雪花曲線最使我們注意的地方是任何部分都與整體相似，該結構的每個小三角形包含著一個適當比例縮小的整體形狀，這個形狀包含著每個小三角形的縮小形式，後者又包含縮小了更小的整體形勢，如此下去以至無窮，使得這個曲線看上去是如此的奇妙。如果它在現實中出現，那就必須把它完全除去才能摧毀它。否則的話，它將會從它的三角形最深處，重新不停地生長起來，就像宇宙本身一樣。

把切薩羅對雪花曲線所描述的性質叫做分形。如果把該曲線的一部分保留下來，這部分將仍然保存著分形的本質，能使自己生長。儘管如此，數學家並未給出一個完美的定義。其後人們根據雪花曲線的特點，又做出了很多類似的病態圖形。

分形圖形包含了很多相似的圖形，這種圖形的特點就是圖形的每一部分都和它本身的形狀相似，我們稱這種圖形的這種性質為自相似性。自相似性就是跨尺度的對稱性，它意味著在一個圖形內部遞歸的還有相似的圖形，或者說，把要考慮的圖形進一步放大，其形狀與整體相同。嚴格滿足自相似性的圖形，我們稱之為數字分形，也叫做有規分形。在地球科學和物理科學中也存在著分形現象，但是它們的自相似性是近似的，或者是在統計意義上的，我們稱之為統計分形，或無規分形。

分形幾何的誕生

在1975年，曼德布羅特首先正式提出分形幾何的概念之前，分形思想已經萌芽於1875年到1952年間，一些科學家們的著作中。

1875年，德國數學家魏爾斯特拉斯構造了處處連續但處處不可微的函數。1883年，德國數學家康託爾構造了有許多奇異性質的三分康託爾集。1890年，義大利數學家皮亞諾構造了能夠填充整個空間的曲線。1904年，瑞典數學家科赫設計出雪花曲線。1910年，德國數學家豪斯道夫開始提議集合性質與量的研究，提出分數維概念。1915年，波蘭數學家希爾賓斯基設計了像地毯和海綿一樣的幾何圖形。這些曲線和概念正是分形幾何思想的源泉，這些成果都是這些「槓精」抬槓抬出來的。但分形的出現和研究受到了主流學術界的譴責和鄙視，似乎革命性的思想總是要接受這一洗禮。我們所認識的分形與傳統的數學相矛盾，如有些圖形具有有限的面積，卻具有無限的周長；有些分形曲線能充滿整個空間。這些由「槓精」數學家們構造出來的怪物，不被當時的其他人接受，甚至被認為沒有絲毫的科學價值，因此分形曲線被認為病態曲線。

就像當年哥倫布發現美洲新大陸，分形的創立者曼德布羅特在研究海岸線時創立了分形幾何學。1967年，他在美國《科學》雜誌上發表了一篇題為《英國的海岸線有多長？》的論文，論文成為分形誕生的標誌。他對海岸線的本質的獨特分析震驚了整個學術界。1975年曼德布羅特在其《自然界中的分形幾何》一書中正式引入了分形概念，儘管目前還沒有一個讓大家滿意的分形定義，但在數學上大家都公認分形具有以下幾個特點：

結構的精細性：分形圖形具有無限精細的結構。自相似性：部分與整體的比例的相似性。維數的非整數性：一般來講分形圖形的分數維大於它的拓撲維數。生成的迭代性：可以由非常簡單的方法定義，並由遞歸、迭代產生。其中前兩項說明分形在結構上的內在規律性，其中自相似性是分形的靈魂：任何一個片段都包含了整個分形的信息。第3項說明了分形的複雜性。第4項說明了分形的生成機制。

研究分形體的數學基礎是測度論和公度拓樸學。由測度論給出的分形定義難以被不熟悉測度論的人理解，並且在實際中也難於應用。下面給出兩個定義，它們雖然不夠精確，不夠數學化，但在物理上易於理解。

曼德布羅特於1986年定義：部分以某種形式與整體相似的形狀叫做分形。埃德加1990年定義：分形幾何是這樣一種幾何，它比傳統幾何學研究的所有幾何還要更加不規則，無論是放大還是縮小，甚至進一步的放大或縮小，這種幾何的不規則性仍然是明顯的。美國物理學家諾貝爾物理學獎得主約翰·惠勒說：在過去，一個人如果不懂得『熵』，就不能說在科學上有教養；在將來，一個人如果不熟悉分形，他就不能被認為是科學上的文化人。