如圖，△ABC是正三角形，曲線CDEF叫做正三角形ABC的漸開線，其中A，B，C分別為圓心，如果△ABC的邊長等於2cm，此時△ABC的面積約等於1.73平方釐米，求該圖形CDEF的周長和面積。
分析：因為△ABC是正三角形（即等邊三角形），所以AC＝BC＝AB＝2cm。
從圖中可以看出該圖形是由正三角形ABC，扇形ACD，扇形BDE，扇形CEF複合而成，該圖形的周長也就是扇形ACD的圓弧CD、扇形BDE的圓弧DE、扇形CEF的圓弧EF與線段CF的長度之和；其面積為扇形ACD、扇形BDE、扇形CEF與△ABC的面積之和。
因為△ABC是正三角形，所以角CAB＝角ABC＝角BCA＝60度，所以角CAD＝角DBE＝角ECF＝120度，即三個扇形的圓心角都是120度。
120÷360＝1／3，故每個扇形的圓弧的長度等於其所對應的圓的周長的1／3，每個扇形的面積等於其所對應圓的面積的1／3。
在扇形ACD中，因為AC＝2cm，所以AD＝2cm，故BD＝BA＋AD＝2＋2＝4cm；在扇形DBE中，BE＝BD＝4cm，故CE＝CB＋BE＝2＋4＝6cm；在扇形CEF中，CF＝CE＝6cm。
解：AC＝2cm，AD＝2cm；
BD＝AB＋AD＝2＋2＝4cm；
BC＝2cm，BE＝BD＝4cm
所以CE＝BC＋BE＝2＋4＝6cm
CF＝CE＝6cm
圓弧CD的長度為：
2×AC×兀×1／3＝2×2兀×1／3＝4兀／3（cm）
圓弧DE的長度為：
2×BD×兀×1／3＝2×4兀×1／3＝8兀／3（cm）
圓弧EF的長度為：
2CE×兀×1／3＝2×6兀×1／3＝4兀（cm）
所以該圖形的周長為：
4兀／3＋8兀／3＋4兀＋6
＝4兀＋4兀＋6
＝8兀＋6
＝8×3.14＋6
＝25.12＋6
＝31.12（cm）
面積：
扇形ACD的面積為：
S扇ACD＝2×2兀×1／3＝4兀／3（平方釐米）
扇形BDE的面積為：
S扇BDE＝4×4兀×1／3＝16兀／3（平方釐米）
扇形CEF的面積為：
S扇CEF＝6×6兀×1／3＝12兀（平方釐米）
所以圖形CDEF的面積為：
S＝S扇ACD＋S扇BDE＋S扇CEF＋S△ABC
＝4兀／3＋16兀／3＋12兀＋1.72
＝20兀／3＋12兀＋1.72
＝20×3.14／3＋12×3.14＋1.72
＝20.93＋37.68＋1.72
＝60.33（平方釐米）