小六數學:「圓的周長和面積」考點歸納及常見題型!(附習題詳解)

2021-01-13 學林中小學試題研究室
「圓」作為小學六年級數學上冊的重要知識點之一，也是命題人考查的重點。那麼究竟出題人會如何考查該部分的知識點呢？今天林老師將和同學們一起探討「圓的周長和面積」的常考點以及常見題型，希望對同學們的期末複習有所幫助。

1、（1）在同一個圓內或等圓內，有無數條半徑，有無數條直徑。所有的半徑都相等，所有的接近長方形。長方形的長相當於圓的周長的一半，長方形的寬相當於圓的半徑。

2、圓面積的計算方法：因為長方形面積= 長×寬，所以圓的面積= 圓周長的一半×圓的半徑。即S圓= C÷2×r=πr×r=πr23、環形的面積：一個環形，外圓的半徑用字母R表示，內圓的半徑用字母r表示。（R= r+環的寬度）S環= πR2-πr2或環形的面積公式：S環= π（R2-r2）（建議用這個公式）。4、一個圓，半徑擴大或縮小多少倍，直徑和周長也擴大或縮小相同的倍數。而面積擴大或縮小的倍數是這倍數的平方倍。5、兩個圓：半徑比=直徑比=周長比；而面積比等於這比的平方。6、任意一個正方形與它內切圓的面積之比都是一個固定值，即4 :π。7、當長方形，正方形，圓的周長相等時，圓面積最大，正方形居中，長方形面積最小。反之，面積相同時，長方形的周長最長，正方形居中，圓的周長最短。8、常用各π值結果：π = 3.14；2π = 6.28；5π=15.7推導過程：S=S正-S圓=d2-πr2 =2r×2r-πr2=4r2-πr2=r2×（4-π）=0.86r2推導過程：S=S圓-S正=πr2-2r2=r2 ×（π-2）=1.14r2（把正方形看成兩個面積相等的三角形，三角形的底就是直徑，高是半徑）11、一條弧和經過這條弧兩端的兩條半徑所圍成的圖形叫做扇形。頂點在圓心的角叫做圓心角。扇形的面積與圓心角大小和半徑長短有關。12、S扇=S圓×n/360°；S扇環=S環×n/360°

題型一：圓的概念（圓心、半徑、直徑以及半徑和直徑的關係）1、用圓規畫一個直徑為5cm的圓，圓規兩腳間的距離應取_   cm。
【解析】本題考查圓的直徑和半徑的定義。畫圓時，圓規兩腳間的距離就是所畫圓的半徑，即5÷2=2.5釐米。【點評】解答此題要注意圓規兩腳間的距離就是所畫圓的半徑，是2.5釐米，不是5釐米。2、判斷：直徑越大，圓周率越大，直徑越小，圓周率越小。（  ）【解析】本題考查圓周率的本質。圓周率是圓的周長和它直徑的比值，是一個定值，不隨圓的大小而改變。故題幹說法錯誤。3、圓的半徑擴大3倍，直徑就擴大_   倍，周長就擴大_  倍，面積擴大_  倍。
【解析】本題考查圓的半徑和直徑、周長、面積之間的關係。一個圓的半徑擴大n倍，直徑就擴大了n倍，周長就擴大n倍，面積就擴大n2倍。由此可知，當一個圓的半徑擴大3倍，直徑就擴大3倍，周長就擴大3倍，面積就擴大32=9倍。【答案】3，3，9
【點評】考查了圓的周長公式和圓的面積公式：圓的周長C=2πr，圓的面積S=πr2。4、一輛自行車車輪外直徑70釐米，如果平均每分鐘車輪轉100周，從望直港鎮到寶應縣城大約需要25 分鐘。望直港鎮到寶應縣城大約多少千米？（得數保留一位小數）
【解析】本題主要考查圓的周長公式的運用，解答時應注意單位的換算。3.14×70×100×25
=219.8×100×25
=21980×25
=549500（釐米）
549500釐米≈5.5千米
答：望直港鎮到寶應縣城大約5.5千米。5、將一個直徑2釐米的圓形紙片對摺，得到一個半圓形（如下圖），求這個半圓的周長和面積。

【解析】本題主要考查半圓的周長和面積公式。半圓的周長=πr+2r=圓的周長÷2+直徑=πr+d；半圓的面積=πr2÷2。3.14×2÷2+2
=6.28÷2+2
=3.14+2，
=5.14（釐米）=1.57（平方釐米）答：這個半圓的周長是5.14釐米，面積為1.57平方釐米。 6、如圖所示，一個圓的周長是15.7釐米，求長方形的面積。

15.7÷3.14=5（釐米）
5×2×5=10×5=50（平方釐米）
答：長方形的面積是50平方釐米。 

【解析】本題主要考查圓環以及組合圖形的面積。S環= πR2-πr2 = π（R2-r2）圖①直接代入圓環面積公式S環= π（R2-r2）即可。圖②陰影部分面積可轉化為大圓面積－小圓面積，即S=πR2-πr2。圖③可轉化為求半圓面積。 ①S陰=π（R2-r2）=3.14×（52－32）=3.14×16=50.24cm2②S陰=πR2-πr2=3.14×32－3.14×12=25.12 cm2③ S陰=πr2÷2=3.14×52÷2=39.25 cm28、凱蒂貓和機靈狗從一個直徑為100 米的圓周上的同一點向相反的方向運動，它們同時出發。凱蒂貓每分鐘走12.56米，機靈狗每分鐘走18.84米。相遇時，凱蒂貓比機靈狗少走多少米？【解析】本題主要考查相遇問題以及圓的周長的應用。（同時出發相向而行的相遇問題）速度和×相遇時間=總路程；（同時出發相向而行，最終兩者的路程差）=相遇時間×速度差；圓的周長公式：C=πd。由此可先算出其周長為100×3.14=314（米），再除以（12.56+18.84）（凱蒂貓和機靈狗的速度之和），求出他們各走的時間為10分鐘。然後再用18.84乘10 減去12.56乘10，求出凱蒂貓比機靈狗少走的米數。【答案】
3.14×100÷（12.56+18.84）=10（分鐘）
18.84×10-12.56×10=62.8（米） 

4、求圓環的面積要看清楚給的直徑還是半徑，用半徑求圓的面積。5、已知內圓半徑求外圓半徑時，要加上環寬；已知外園半徑求內圓半徑時，要減去環寬。半圓的周長=πr+2r=圓的周長÷2+直徑=πr+d；半圓的面積=πr2÷2圓的面積公式：S圓=πr2，變形可得到：r2=S÷π

8、一個環形，外圓的半徑是R，內圓的半徑是r。（R=r+環的寬度）環形的面積公式：S環= πR2-πr2 = π（R2-r2）求環形的面積，一定要先想辦法分別求出外圓的半徑（R）和內圓的半徑（r），再代入公式計算。注意用公式「S環=π（R2-r2）」計算時，要先算出2個平方數，再相減。

 

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