單葉雙曲線

2021-02-23 王利新log

單葉雙曲線

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作者：王利新

文章來源：知乎-好大的風 & 公眾號-usim

在高二那一年學校有意培養清華北大的學生，組織五個人去華北電力學校參加培訓自主招生，有幸我算其中的一位，當時老師就講了單葉雙曲線的穩定，讓我想起了沙嶺子那邊的冷卻塔。之後看見知乎大神和usim鄧老師的仿真，在此做一個總結。

（圖片來源：Hyperboloid）

其實這個方程是能推導出來的。題主問的是為什麼會形成這個形狀，那麼我們就來歸納一下棉籤到底處於什麼樣的條件。

首先對於單根的棉籤而言，不難理解受到重力作用下滑，最終兩端都在棉籤桶的壁上。而對於多根棉籤而言，由於他們的粗細和長度都相同，因此這裡存在了兩個約束條件：
1. 它們頂點和底端都在一個圓上。
2. 緊鄰的兩根棉籤距離相同（也就是這個圓上的圓心角差距相同）。

評論區有不少同學表示推導出這兩點約束才是重點，那麼我簡單的解釋一下：1. 在滿棉籤的情況下，棉籤互相支撐，都是站立起來的。2. 用掉一部分之後，出現了空隙，因此重力作用下部分棉籤會倒掉，並且引發連鎖效應。3. 由於桶壁和桶底是光滑的，那麼（外圍的）棉籤最終穩定狀態一定是斜靠的狀態，也就是底端都在桶底邊緣的那個圓上，頂端也都在桶壁上，相比於直立狀態這樣的重心低，更穩定。4. 處於能量最低，也就是重心最低的原理，每根棉籤會趨向於在底面的投影佔據直徑的位置。這四點沒問題吧。事實上考慮到粗細和摩擦其實上端是有可能不接觸桶壁的，不過這並不影響。5. 如果棉籤沒有粗細，那麼最終每一根的投影都是一條直徑，最終的圖像是兩個圓錐。而考慮到粗細，實際上投影不會經過圓心。那麼最終穩定的形式如下：

一個符合直覺的結論就是，在半高處，每一根棉籤都會緊密相連，截面上的橢圓互相相切。此時棉籤離圓心最近，傾斜角最大，能量最低。注意這一條可以得出下面推導時候的前提，也就是每一根棉籤旋轉的角度相同是等價的。事實上旋轉角度相同的條件更弱一些，並不需要能量最低，只要每一根能量相同即可。實際上如果為了嚴謹，這一點應該也是要證明的，不過顯然很麻煩。大致寫一下思路：1. 設每一根棉籤的長度是L，半徑是R。2. 第一根棉籤底端在(cosA1,sinA1,0)處，頂點在(cosB1,sinB1,z1)處。方程為L1(x,y,z)。外表面是距離L1這條之間R距離的一個面，F1(x,y,z)。3. 假設數字小的在數字大的下面壓著。那麼這個問題就變化成了：在Fi和Fi+1相切的前提下，求∑zi的最小值（也就是重力勢能總合的最小值）。接下來是承認以上約束的前提下的，粗糙的數學推導：隨便找一根棉籤，假設它上下的坐標分別是：（cosA, sinA, 1）和（cosB, sinB, -1）這裡假設了這個圓半徑是1，棉籤自然垂落的高度是2。具體數字並不影響最終形式，只是為了方便推導。那麼緊跟著它的一根棉籤，旋轉了一個小角度x，上下坐標就應該是：（cos（A+x）, sin（A+x）, 1）和（cos（B+x）, sin（B+x）, -1）那麼：1. 兩點可以確定一條直線。2. 這條直線對於任意x成立，確定一條面。於是我沒事幹推導了一下……

假設B等於0，就是選一個特殊的起始點咯，然後第一個推導是兩點的直線方程。後面暫時用K代替簡化計算。第二個推導就是把x和y分別弄出來。第三個推導就是暴力運算了。第四個推導只是把形式變得好看，類似於下面這個

也就是單葉雙曲面的方程。

公眾號usim中abaqus的模擬

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