橢圓是到兩點距離之和為定值的點形成的曲線，那麼到兩點距離之差為定值的點形成的曲線又是什麼呢？這個曲線其實是雙曲線的一支，那麼雙曲線的方程是什麼形式呢？
雙曲線的方程推導
與橢圓的焦點類似，我們也稱形成雙曲線的兩個點為焦點，並且選取焦點為x軸上兩個對稱的點A(-c,0)和B(c,0)，假設雙曲線上任意一點為C(x,y)，那麼有下列等式
那麼用x、y表示上式，可得
兩邊平方並化簡
到這裡，我們推出來雙曲線的表達式與橢圓是一樣的，但是不同之處在於，雙曲線的a是小於c的(三角形兩邊之差小於第三邊)，那麼可得
這樣一來，我們一定能求出正實數b，使得
此時，雙曲線的表達式可化簡為
與橢圓類似，很容易得知雙曲線也是一個關於原點中心對稱、分別關於x軸和y軸對稱的曲線。
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