軌跡方程的求解方法

2021-01-15 67高中學習

求符合某種條件的動點軌跡方程，是解析幾何的基本問題，其實質就是利用題設中的幾何條件，通過「坐標化」將其轉化為尋求動點的橫坐標與縱坐標之間的關係.在求與圓錐曲線有關的軌跡方程時，要特別重視圓錐曲線的定義在求軌跡方程中的應用，只要動點滿足已知曲線的定義，就可直接得出方程.一般高考的解析幾何題第一問是求軌跡方程，第二問是研究直線和曲線的位置關係，所以很有必要牢固掌握軌跡方程的求法.求軌跡方程常用的方法有直接法、定義法、代入法、交軌法、待定係數法、參數法.而定義法，直接法，代入法是重點方法.

求軌跡方程與求軌跡是有區別的，若求軌跡，則不僅要求出方程，而且還需要說明所求軌跡是什麼曲線，即曲線的形狀、位置、大小都需說明.



我們學過的圓，橢圓，雙曲線的標準方程都是用直接法推導出來的，直接法求軌跡方程的步驟如下：

註：步驟(5)可以省略不寫，如有特殊情況，可以作適當說明，另外，也可以根據情況省略步驟(2).

簡單記為：

①建系；②設點；③列式；④代換；⑤檢驗.



如果動點P的運動規律是否合乎我們熟知的某些曲線的定義難以判斷，但點P滿足的等量關係易於建立，則可以先表示出點P所滿足的幾何上的等量關係，再用點P的坐標(x,y)表示該等量關係式，即可得到軌跡方程.




定義法求軌跡方程是很常用的方程，我們要熟悉各種圓錐曲線的定義，只要動點滿足圓錐曲線的定義，就可以寫出它的軌跡方程.


如果動點P的運動規律合乎我們已知的某種曲線（如圓、橢圓、雙曲線、拋物線）的定義，則可先設出軌跡方程，再根據已知條件，待定方程中的常數，即可得到軌跡方程.


已知所求的曲線類型，先根據條件設出曲線方程，再由條件確定其待定係數.




交軌法主要解決動直線或曲線間的交點問題.動點P(x,y)是兩動直線(或曲線)的交點，解決此類問題通常是通過解方程組得到交點(含參數)的坐標，再消去參數求出所求的軌跡方程.


本題利用交軌法求軌跡方程，解題時要認真審題，仔細分析，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地選取公式.



動點P(x,y)依賴於另一動點Q(x0,y0)的變化而變化，並且Q(x0,y0) 又在某已知曲線上，首先用x，y表示x0，y0，再將x0，y0代入已知曲線得到要求的軌跡方程.



代入法的關鍵在於找到動點和其相關點坐標間的等量關係，有一個主動點，一個被動點，主動點的軌跡方程已知了，求被動點的軌跡方程用此方法.




當動點P(x,y)的坐標之間的關係不易找到，可考慮將x，y均用一中間變量(參數)表示，得參數方程，再消去參數得方程f(x,y)=0.


如果採用直接法求軌跡方程難以奏效，則可尋求引發動點P運動的某個幾何量t，以此量作為參變數，分別建立點P的坐標x，y與該參數t的函數關係x=f(t)，y=g(t)，進而通過消參化為軌跡的普通方程F(x,y).


以上列舉了六種求曲線軌跡方程的方法，在解題過程中，要仔細讀題，認真審題，挖掘題目中的隱含條件，再對應各種方法求軌跡方程.相信同學們一定能夠學好這部分知識.


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下期預告

《圓錐曲線中定點、定值問題的求解策略》

---劉大鳴


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