波動方程 熱傳導方程 求解方法

2021-01-20 sangyufeiwan0011

這兩天，得到了一個11月28號那天考的全國大學生數學競賽（CMC賽)的令人振奮的消息(雖然沒有一等獎，但能得二等獎已經出乎我的預料了)以後還要繼續加油

正文

偏微分方程中波動方程和熱傳導方程的求解方法都是分離變量法。分離變量法的思想貫穿著這兩種方程。甚至可以用分離變量法求解少部分的拉普拉斯方程。拉普拉斯方程的求解方法相比于波動方程和熱傳導方程更為複雜，需要採用更多的數學工具。這邊是一些關于波動方程以及熱傳導方程的求解例子。並不難，但是在計算積分的時候需要較為小心，爭取不要計算錯誤。(已經核對過答案)

這是最簡單的情形的熱傳導方程的計算，難度不大，課本上給出過此種方程的求解係數公式。


注意到三角級數的正交性，可以簡化計算過程，從而快速得到答案。

以下題目都是類似於上述計算方法：


還可以將條件進行修改，做法類似：



熱傳導方程求解也是類似 熱傳導方程的求解運算量還比波動方程稍小

對於非齊次問題的求解，課本上有對應的齊次化原理進行求解，但是也可以通過對於函數的傅立葉展開（自己獨立推導出來的，雖不能算是原創，但的確我沒在別的教材上見到過推導過程）再利用常微分方程中的常數變易法進行求解，詳情請見:

"常數變易法"求解非齊次波動方程與熱傳導方程

希望大家能學好這門課程




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