科學網—有限差分法求解三維微尺度熱傳導方程

2021-01-08 科學網
《計算與應用數學雜誌》2008年220卷1-2期 有限差分法求解三維微尺度熱傳導方程

 

在工程應用和實踐中，熱傳導方程是非常重要的一類數學物理方程。工程中經常涉及求解熱傳導方程初邊值問題。對於微尺度意義下的熱傳導介質，比如薄膜和納米材料等，其熱傳導行為可以用一個三維的微尺度熱傳導方程來描述。另外，聲子電子相互作用模型、單能量模型、聲子輻射傳播模型和絕緣層材料行為模型等，都可以歸結為微尺度熱傳導方程的數值求解。因此，建立該類偏微分方程求解的有效且高效的數值格式，顯得尤為重要。

 

有限差分方法是數值求解偏微分方程常用的有效數值方法。目前，許多有效的數值格式已經建立，比如顯式格式、隱式格式、半隱式格式、迎風格式和Crank–Nicolson格式等。這些數值格式已經被廣泛有效地應用於工程實踐中。對於微尺度熱傳導方程，目前得到越來越多研究人員的廣泛關注。針對一維的情形，部分研究人員已經利用現有的數值格式進行了有效數值求解，然而對於高維的情形，所開展的研究並不多。

 

最近，伊拉克Basrah大學的Harfash引入輔助函數，基於Crank–Nicolson格式，提出了緊湊有限差分格式，用於三維微尺度熱傳導方程的有效數值求解。這是一種新的空間上四階收斂和時間上二階收斂的有限差分數值格式，同時對不同的初值無條件穩定，並且得到了巧妙的證明。

 

針對精確解存在的情形，通過該格式的數值求解，並結合精確解計算絕對誤差，數值算例表明，該算法在數值求解三維微尺度熱傳導方程時極其有效，能夠獲得較高的精度和收斂階。

 

原文連結：http://www.sciencedirect.com/science/journal/03770427（常紅旭/編譯）

 

《科學新聞》 (2008年 9月 第2期 封面集錦)

相關焦點

  • 波動方程 熱傳導方程 求解方法
    號那天考的全國大學生數學競賽（CMC賽)的令人振奮的消息(雖然沒有一等獎，但能得二等獎已經出乎我的預料了)以後還要繼續加油正文偏微分方程中波動方程和熱傳導方程的求解方法都是分離變量法分離變量法的思想貫穿著這兩種方程。甚至可以用分離變量法求解少部分的拉普拉斯方程。拉普拉斯方程的求解方法相比于波動方程和熱傳導方程更為複雜，需要採用更多的數學工具。這邊是一些關于波動方程以及熱傳導方程的求解例子。並不難，但是在計算積分的時候需要較為小心，爭取不要計算錯誤。
  • 熱傳導方程的差分格式原理與matlab實現
    熱傳導方程的差分格式一、研究問題介紹拋物型方程中一種最基本形式
  • 偏微分方程(組)的數值解法介紹
    我們知道物理現象中很多問題可以用偏微分方程描述，例如振動、熱傳導、擴散等。二、有限差分法介紹有限差分法顧名思義可分為有限+差分。有限——我們可以理解為連續（無限）的求解域，通過離散化變為由有限個網格節點構成的求解域。
  • 一篇文章入門時域有限差分方法(FDTD)
    時域有限差分（Finite Difference Time Domain簡稱FDTD）由美籍華人Yee於1966
  • 【遊戲流體力學基礎及Unity代碼(一)】熱傳導方程
    如果到了三維，並且確定的溫度值有很多個的時候，要求解的溫度值也很多的時候，要通過解析方法求解就很麻煩了。我們得換個法子。既然我們不知道中間六格的溫度，我們就瞎猜嘛，說不定猜對了呢？我們猜中間六格的溫度都是0度。嗯，結果顯然看起來不太對，但我們可以改一下。除了我第一格和第八格的溫度已經給定不能再改變外，其它六格的溫度我們都可以繼續改，讓結果看起來更加合理一些。
  • 熱導方程的Matlab數值解方法
    這是一個很久很久以前的一個故事，久到能夠讓人忘記原來這這些方程是如此的貼近自己的學習。你學或者不學，它都在這裡，不難也不簡單。過冷水今天就和大家分享一下一維熱傳導方程特別案例的具體求解方法。有熱源的熱傳導方程為：我們來看一個比較簡單形式的求解方法。
  • 你的第一個有限元求解器——僅十行MATLAB代碼
    有限元分析話題中有不少討論有限元求解器的問題，但大都停留在概念層面，未見實際代碼。望本文能略起拋磚引玉之作用。以下代碼是基於MATLAB編寫。考慮一平面有界區域 當 寫成矩陣形式，便成為常見之有限元方程
  • .| 《機械結構有限元法基礎理論及工程應用》及相關程序下載
    內容簡介　　本書主要介紹了機械結構有限元法的基礎理論及工程應用實例，簡述了有限元方法的基本概念、一維問題、二維問題、三維問題、梁理論的有限元方法應用、形函數理論、等參元理論、有限元方法的動力學問題等有限元方法內容。
  • 時域有限差分算法FDTD
    麥克斯韋方程組是表述宏觀電磁現象的一組基本方程。
  • 熱電冷卻器的有限元熱分析
    1 有限元軟體中TEC三維模型的創建和運算方程1.1 熱電冷卻器(TEC)熱分析運算方程　　TEC是由半導體P-N　(2)　　式中，R為TEC的電阻抗值;k為TEC熱傳導係數;ΔT=Th-Tc，為熱面與冷麵之間溫度差。
  • 偏微分方程:作用、分析與數值求解
    報告題目：偏微分方程：作用、分析與數值求解 報 告 人：江松 研究員 北京應用物理與計算數學研究所 報告時間：2020年9月27日9:00 報告地點：數學學院二樓報告廳 校內聯繫人：張然zhangran@jlu.edu.cn 報告摘要： 科學與工程技術
  • 【SymPy】(七)方程求解(八)矩陣
    在SymPy中，任何不在Eq中的表達式都被SynPy的求解函數（如solveset()）假定等於0。這意味著我們可以不使用x==y，而使用x-y（被求解函數認為是x-y==0）。如果要求解的方程已經等於0，則這一點特別有用。
  • 關於熱傳導與熱應力有限元分析清單
    1、熱傳導理論基礎：1.根據能量守恆定律，可以建立熱傳導微分方程（拋物線型微分方程，傅立葉方程）：
  • 描述物質運動變化的數學學科:常微分方程、偏微分方程
    微分方程的形成與發展與力學、天文學、物理學等科學技術的發展密切相關。因為在現實的世界中，物質的運動及其變化規律在數學上是用函數關係來描述的，這意味著問題的解決就是要去尋求滿足某些條件的函數，而這類問題就轉換為微分方程的求解問題。
  • [基礎理論]偏微分方程的類型
    偏微分方程(PDE)是真實世界常見現象的一種數學語言描述，二階偏微分方程始終是重要的研究對象。
  • 2019數學建模國賽|Matlab 求解微分方程(組)
    2.函數 dsolve 求解的是常微分方程的精確解法，也稱為常微分方程的符號解.但是，有大量的常微分方程雖然從理論上講，其解是存在的，但我們卻無法求出其解析解，此時，我們需要尋求方程的數值解，在求常微分方程數值解方面，MATLAB 具有豐富的函數，將其統稱為 solver，其一般格式為：           [T,Y]=solver(odefun,tspan,y0)
  • 微分方程:極富生命力,包羅萬象的數學分支
    因為在現實的世界中，物質的運動及其變化規律在數學上是用函數關係來描述的，這意味著問題的解決就是要去尋求滿足某些條件的函數，而這類問題就轉換為微分方程的求解問題。到19世紀，偏微分方程得到迅速發展，數學物理問題的研究也隨之繁榮起來，許多數學家都對數學物理問題的解決做出了貢獻。尤其是法國數學家傅立葉，他在自己關於熱傳導的論文《熱的解析理論》中提出了一種偏微分方程，三維空間的熱方程。偏微分方程是什麼樣的？它包括哪些內容？
  • 有限元方法入門編程
    有很多數值方法，有限差分，有限元，有限體積，邊界元等，它們本質上是用不同的方式取離散化微分方程。今天說一下有限元方法入門編程。  問題描述  我們有如下問題，要求解u(x)。理論部分如下，選定基函數，基函數屬于勒貝格空間(見附錄)，我們對目標微分方程兩邊乘以測試函數後分部積分，得到弱格式，最終得到一個線性系統，求解線性方程即可得到微分方程的近似解。
  • 學習一種更出色的偏微分方程求解模擬方法
    On-the-role-and-challenges-of-CFD-in-the-aerospace-Spalart-Venkatakrishnan/1f91149a0062ff9e886d5a25b34a92e1ba56a400模擬核聚變反應堆 連結https://www.exascaleproject.org/predictive-simulations-may-point-to-the-best-design-for-fusion-reactors/我們需要更快地模擬以求解這些方程