時域有限差分算法FDTD

2021-02-20 周末全開

麥克斯韋方程組是表述宏觀電磁現象的一組基本方程。

    過去150多年，局部、體響應函數（如介電常數）和宏觀麥克斯韋方程組完全描述了經典電磁問題，它只具有波長λ和幾何尺度。上述對本徵電子長度標度的否定可能導致最終在納米尺度範圍內崩潰[1]。楊毅(音)等科學家團隊在《自然》上發表了一篇題為《納米級電磁學的一般理論和實驗框架》(A general theoretical and experimental framework for nanoscale electromagnetism)的突破性論文。他們在論文中提出了一個模型，成功將宏觀電磁學的有效性擴展到了納米領域。

暫且不談納米尺度的電磁問題。這裡僅看宏觀電磁現象，幾乎所有電磁問題的求解，最終都可追溯到麥克斯韋方程組。

麥氏方程分為微分形式 和 積分形式，時域有限差分方程是從微分形式的麥克斯韋旋度方程出發進行差分離散而得到的一組時域離散迭代方程[2]。

麥克斯韋旋度方程為

Δ×H = ∂D/∂t  + J

Δ×E = -∂B/∂t  - Jm

各向同性線性媒質中，上述狀態變量的本構關係為

D = εE

B = μH

J = σE

Jm =σmH

將狀態變量的本構關係 帶入到旋度方程，在直角坐標系中對其展開

會得到關於六個標量的兩組方程

為了更好的進行數值求解，K.S.Yee 在1966年提出了Yee元胞，如下圖所示

對坐標軸x,y,z方向進行空間離散取樣，其間隔分別為Δx,Δy,Δz，時間抽樣間隔為Δt。在t =(n+1/2)Δt時刻和空間位置(i+1/2,j,k)處，對Ex用nΔt和(n+1)Δt時刻的場值進行平均等效處理，

則得到關於六個標量方程組的離散形式，繼而得到了FDTD方程組。

之後按照下述流程進行迭代計算:

已知t1=t0=nΔt時刻空間各處電廠E的值

1、計算t2 = t1 + Δt/2 時刻空間各處磁場H的值

2、計算t1 = t2 + Δt/2 時刻空間各處電場E的值；

3、回到步驟１循環計算；

[1]    Y. Yang et al., "A general theoretical and experimental framework for nanoscale electromagnetism," Nature, vol. 576, no. 7786, pp. 248-252, Dec 2019.
[2]    楊天宏. 時域有限差分中的色散媒質問題研究[D]. 東南大學, 2015.


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