一篇文章入門時域有限差分方法(FDTD)

時域有限差分（Finite Difference Time Domain簡稱FDTD）由美籍華人Yee於1966年提出，是求解Maxwell方程的一種方法，其核心思想是將求解空間離散成笛卡爾坐標上的長方體網狀結構，其中每個點賦值電場和磁場，隨著時間變化每個點以蛙跳形式交替更新電場和磁場，從本質上講，FDTD是對電磁場問題的最原始最完善的模擬，具有非常廣泛的適用性。

不同於有限元方法，該方法只需要對求解空間劃分結構化網格，不需要對對象劃分網格，不需要求解線性方程組，不需要複雜導出方程，適合計算程序實現，非常容易應用並行計算。但由於FDTD計算量巨大，導致其方法提出後應用發展緩慢，最近一二十年，由於計算機硬體快速發展，尤其是多核多線程，GPU計算，分布式計算應用，使得FDTD可用於計算量大的實際工程。Navida 的CUDA計算案例裡甚至有專門針對FDTD的例子。

之前簡單介紹了計算電磁學，這裡首先介紹一下數學基礎理論知識。

基礎介紹

在積分微分公式中我們經常看到倒三角符號 ▽，叫做哈密頓算子，這是一個常用算子，讀作del，表示在空間xyz各方向上的全微分，另一個是  ▽·▽=▽2=△，△稱為拉普拉斯算子。

梯度: ▽u

散度: ▽·A   

旋度: ▽×A  

電磁場本構方程為麥克斯韋方程

以上四個方程構成了麥克斯韋方程組。

其中E為電場強度，H為磁感應強度，B為磁通量密度，J為電流密度。

通常說的磁生電，電生磁，麥克斯韋方程準確描述為：

1.電場的散度跟這點的電荷密度成正比；

2.感生電場的旋度等於磁感應強度的變化率；

3.磁場的散度處處為0；

4.感生磁場的旋度等於電流密度和電場強度變化率之和

FDTD的Cell（元胞）結構

FDTD的核心思想是將求解空間離散成笛卡爾坐標上的長方體網狀結構，下圖（圖3）是網狀結構中的一個單元，一個非常典型的三維Yee元胞結構，又叫Yee網格。

FDTD的Cell

1.靠近遠點的坐標為i，j，k，對角坐標則為i+1，j+1，k+1。

2.在這個長方體上，我們將其分為八個等分長方體，長方體的每條邊的中點存放磁場分量，面上的中點存放電場分量。當到下一個長方體時，則反過來：邊的中點存放電場分量，面的中點存放磁場分量，以此類推。由上圖可以看到：每一個電場矢量都被四個磁場矢量環繞；每個磁場矢量被四個電場所環繞，類似磁場的旋度。

3.FDTD算法在離散的時間瞬間取樣和計算場值，電場和磁場取樣計算並不在同一時刻。對時間步長t，電場取樣時間為0,1t,2t,3t，磁場取樣時刻為0.5t,1.5t,2.5t,3.5t，兩者之間相差半個時間步長。

4.對於求解區域內不同介質的對象（介電常數，磁導率，電導率等），也分布在FDTD的整個網格節點上。

從以上描述可知，FDTD是一種在時間上迭代的差分方法，在給定的時間上，更新網格節點上電場，磁場，不需要對對象劃分網格，也不需要求解線性方程組。

幾個核心問題：

1. 如何確定網格大小；

2. 如何確定迭代時間步長；

3. 邊界條件如何設置；

4. 如何設置激勵

1. 如何確定網格大小；

FDTD的網格，我們通常用Grid，表示是對空間的離散，而非對物體本身的離散，對空間劃分網格比劃分物體幾何要簡單，這是差分法和有限元法最顯著的一個區別。FDTD差分格式所能模擬的最小尺寸為一個網格，對於小於一個網格的尺寸，需要近似成一個網格，但是存在的問題是在細小几何，比如圓孔，曲面曲線，縫隙等結構物體時，計算誤差會比較大，如果全體加密網格，網格單元數和計算量也會快速增加。通常的辦法是在這些細小几何的地方，採用局部加密的方式，如圖1所示。

通常情況下，FDTD離散網格的大小和波長有關，應滿足條件網格尺寸小於計算區域內最小波長的0.1倍。網格加密尺寸需要更加幾何和波長動態確定。

2. 如何確定迭代時間步長；

利用波矢量和頻率的色散關係，可以求出空間和時間間隔之間應該滿足的關係，該關係稱為Courant穩定性條件。對於一維，時間間隔必須小於等于波以光速通過一個Yee網格所需的時間，二維和三維，時間間隔必須小於等于波以光速通過一個Yee網格對角線的1/3(三維)或者1/2(二維)所需要的時間。而對於數值色散，時間間隔要取得更小。

3. 邊界條件如何設置

許多電磁場邊值問題都包含了無限大的空間範圍，例如天線設計，電磁散射，電磁傳播等。求解的一大困難是無法存儲無限空間的網格數據，需要採取一定措施將無限大空間問題轉成有限空間問題，通常的做法是設置人工的邊界，將無限大區域截斷，構造出一個有限的空間區域，這個區域包含了要求解的對象，激勵源等，同時需要在人工邊界上接入一定的邊界條件。使得電磁波在這些邊界上與無限大空間一樣無條件地向外傳播，這些邊界條件稱為吸收邊界條件。解決問題的關鍵是獲得合適的吸收邊界條件，其中早期比較典型的是Mur吸收邊界條件。

完全匹配層，通過在截斷邊界處附加匹配的有耗材料來實現。在實際三維電磁場中，電磁波會以不同角度入射到截斷邊界上，要使所有入射波都能夠無反射地進入到有耗媒質中比較困難。完全匹配層吸收邊界通過場分裂法和單軸媒質兩種方法實現。

4. 激勵源

在電磁仿真軟體中，需要設置激勵源，也就是通常所說的類似Port埠的概念。FDTD常用的激勵源有：時諧場源；脈衝源，包括常見的高斯脈衝，升餘弦脈衝，截斷三正/餘弦脈衝，調製高斯脈衝，雙指數脈衝。

利用FDTD計算還會涉及到近遠場轉化，色散模型，並行計算，S參數計算等一系列問題，後面介紹天線，矩量法等再介紹相關話題。

FDTD軟體

由於FDTD原理相對簡單，開源和商用的軟體都比較多，開源的FDTD++， Meep，OpenEMS，商用的GEMS， xFDTD，FDTDSolution，國內的有EastFDTD。

最後用一個簡單的C++ 程序演示了二維FDTD求解流程，包含網格生成，電磁場更新，設置吸收邊界，激勵等基本元素。

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