求解動點軌跡方程的常用五種方法!!!

運用解析幾何中一些常用定義（例如圓錐曲線的定義），可從曲線定義出發直接寫出軌跡方程，或從曲線定義出發建立關係式，從而求出軌跡方程。

例題：已知△ABC的頂點A，B的坐標分別是(-4,0)，(4,0)，C為動點，且滿足，求點C的軌跡。

解：

備註：

求解完軌跡方程之後，應該確認x，y的範圍是否符合題意，這一驗證過程非常重要。

變式1：已知圓(x+4)2+y2=25的圓心為M1,圓(x-4)2+y2=1的圓心為M2,一動圓與這兩個圓外切，求動圓圓心P的軌跡方程。

變式2：若B(-8,0)，C(8,0)為△ABC的兩頂點，AC和AB兩邊上的中線長之和為30，求△ABC的重心軌跡方程。

直譯法

如果動點運動的條件就是一些幾何量的等量關係，這些條件簡單明確，易於表述成含x,y的等式，就得到軌跡方程，這種方法稱之為直譯法。

例題：動點P到兩個定點A(-3,0)和B(3,0)的距離之比等於2，即￨PA￨: ￨PB￨=2:1,求動點P的軌跡方程。

解：

備註：

除了定義法以外的其他四種求解軌跡方程的解法，需確保這樣一個原則：求哪個動點的軌跡方程，就設那個動點的坐標是(x,y)

變式1：在直角坐標系中，A點坐標為(-3,0)、B點坐標為(3,0),直線AM、BM相交於M，且他們的斜率之積為，求動點M的軌跡方程。

變式2：已知點A(-2,0)、B(3,0)，動點P滿足,則求點P的軌跡方程。

相關點法

動點所滿足的條件不易表述或求出，但形成軌跡的動點P（x,y）卻隨另一動點Q(x',y')的運動而有規律的運動，且動點Q的軌跡為給定或容易求得，則可先將x',y'表示為x,y的式子，再代入Q的軌跡方程，然而整理得P的軌跡方程，稱為相關點法。

例題：已知P是以F1,F2為焦點的雙曲線上的動點，求△F1F2P的重心G的軌跡方程。

解：

變式1：從雙曲線x2-y2=1上一點Q引直線x+y=2的垂線，垂足為N，求線段QN的中點P的軌跡方程。

變式2：已知拋物線y2=x+1，定點A(3，1)，B為拋物線上任意一點，點P在線段AB上，且有￨BP￨: ￨PA￨=1:2，當點B在拋物線上面變動時，求點P的軌跡方程。

幾何法

若所求的軌跡滿足某些幾何性質(如直線垂直，線段垂直平分線，角平分線，直角三角形斜邊中線等於斜邊一半等)，可以列出幾何等式，再帶入點坐標求出軌跡方程，這種方法被稱為幾何法。

例題：過點P(2,4)做兩條互相垂直的直線L1,L2，若L1交x軸於A點，L2交y軸於B點，求線段AB的中點M的軌跡方程。

解：

變式1：過圓O：x2+y2=4外一點A(4，0)，作圓的割線，求割線被圓截的的弦BC中點M的軌跡方程。

變式2：已知平面內有兩定點A(-6,0)，B(2,0)，O為原點，平面內有一動點P，滿足∠APO=∠BPO，求動點P的軌跡方程。

參數法

有時很難直接找出動點的橫、縱坐標之間關係。如果藉助中間量(參數)，使x，y之間的關係建立起聯繫，然後再從所求式子中消去參數，便可得動點的軌跡方程，這種方法被稱作參數法。

例題：過原點的直線L和拋物線y=x2-4x+6交於A、B兩點，求線段AB的中點M的軌跡方程。

解：

備註：

以上求解M的軌跡方程也可以用之前介紹過的」點差法「進行求解。

變式：設橢圓方程為，過點M(0,1)的直線L交橢圓與點A、B，O是坐標原點，點P滿足，求動點P的軌跡方程。