立體幾何中的動點軌跡問題

2020-11-26 騰訊網

這類問題在高考中並不常見，或者說在高考中出現得並不明顯，但在用空間向量求二面角時偶爾會遇到一種題目，即需要用到的點並不是一個確定的點，而是在一個面上的動點，且這個點還滿足一些特定的值或平面幾何關係，此時需要根據條件確定出動點所在的軌跡，在每年高考前的模擬題中也會遇到這種題目，若在選填中，則一般位於壓軸或次壓軸位置，求幾何體中動點的軌跡或者與軌跡求值相關的問題，在解析幾何中滿足條件的動點都會有特定的軌跡，動點絕不是亂點，在幾何體中依舊如此。

這種題目做法和平面幾何求軌跡方程類似，因為點在面內(非平面)，所求的軌跡一般有四種，即線段型，平面型，二次曲線型，球型，這四種情況沒有過於明顯的界限，知道就好，下列題目中就不再分門別類的去敘述了。

立體幾何中與動點軌跡有關的題目歸根到底還是對點線面關係的認知，其中更多涉及了平行和垂直的一些證明方法，在此類問題中要麼很容易的看出動點符合什麼樣的軌跡(定義)，要麼通過計算(建系)求出具體的軌跡表達式，和解析幾何中的軌跡問題並沒有太大區別。

題目中可以找到與AM垂直且包含OP的平面，這樣動點P的軌跡就知道了，從O點向底面作垂線，垂足為O'，連接BO',可知AM⊥平面OO'B，即可得知P的軌跡。

與上題類似，需要找到一個與BD1垂直且包含AP的平面，根據三垂線定理可知BD1⊥AC，BD1⊥AB1，所以BD1⊥平面ACB1，平面ACB1與有側面的交線為B1C，所以點P的軌跡為線段B1C

此類問題的處理方法是把雙動點中的一個看做定點，分別來求，本題目也是這樣，先把P,Q兩點中的一個當做是特殊定點，例如先把P看做定點，Q為動點，若點P為B點，此時Q點在A1C1運動，PB的中點軌跡即為三角形BA1C1的中位線，中位線的兩個端點分別位於平面A1B和平面BC1上，當點P為D點，此時的軌跡為三角形DA1C1的中位線，同理當點P為動點，Q為定點時也是如此，綜上點M的軌跡圖形為菱形，即上圖中紅線和藍線所圍成的菱形，面積為24，過程不再給出。

題目是十幾年前的老題，考查的是空間幾何中最基礎的點線面的關係，求幾何體內動點的軌跡轉化到其中一個面上來，點P到C1D1的距離即點P到C1的距離，因此題目為動點P到定點C1的距離等於動點P到直線BC的距離，可知點P的軌跡為拋物線，但並不是完整的一個拋物線，而是其中的一小段。

如上圖所示，建系設點即可，點P所在的曲線為雙曲線，題目很簡單，過程就不再給出，在題目中與動點有關的幾何體通常都是規則幾何體，可以通過建系來處理。

這種題目可變形之後出在立體幾何大題的第一問中，問是否存在這樣的點F使得滿足線面平行，若直接證明線面平行，在平面D1AE中找不到與A1F平行的線，因此線面平行可轉化為面面平行，將A1F置於一個平面內，使這個平面與D1AE平行即可，難度不大，但很有代表性。

題目和第五題類似，線線垂直轉化為線面垂直，把PE放到一個面內證明定直線AC與之垂直，本題目中的解法是先找到一個明顯與AC垂直的平面SBD，再找一個過PE且與平面SBD平行的平面，間接來證，其實也沒有必要，AC與BD垂直，因此需要找CD的中點可得到AC⊥EG，再根據三垂線定理確定出SC的中點即可。

本題目用到了上次推送中正四面體的常用性質，這也是解題的關鍵，根據角度求出由動點P引發的兩條線段長度比值為定值，根據定值的大小可判斷出符合橢圓的定理(第二定義)。

與上題類似，本題目中也要用到正四面體中的常用結論，若正四面體的稜長為a，則對稜中點的連線即為對稜的公垂線，且長度為a/√2，本題目用到的思想和最後一個題目有關，若x,y軸上各有一動點，且兩動點長度為定值，則兩動點中點的軌跡為以中點為圓心，以兩動點長度的一半為半徑的圓，把兩條互相垂直且相等的對稜放到正方體中，公垂線和動直線EF的長度為定值，找出中點，利用中位線可得到OP所在的直角三角形，接下來只需確定OP的長度為定值即可，題目很不錯。

本題目中提到了線面角，首先根據垂直關係找出線面角的平面角，這兩個平面角恰好在兩個直角三角形中，利用角度相等可得到動點M和兩個定點B,C之間線段的比例關係，根據阿波羅尼斯圓可確定出軌跡為一個圓，建系設點後可得出點M的軌跡方程，進而求得圓弧的長度。

M,Q為直線和平面內的兩動點，但始終滿足MD⊥DQ，且知道MQ的長度為2，因此在直角三角形MDQ中，DP=1,因此點P位於以D為球心，1為半徑的球面上，若題目加一個問題，求動點P的軌跡與以D為頂點的正方體三個面所圍成的幾何體的體積，此時圍成的幾何體為八分之一的球體，可聯想成把西瓜分成兩半之後再橫豎各一刀，就會出現三個兩兩垂直的面。

總的來說，與幾何體有關的動點軌跡問題還是常見於高二同步課中，在高考中出現的頻率很低，處理此類問題的關鍵是熟練掌握立體幾何中的點線面垂直平行異面的關係，找到與包含未知點的量和已知量之間的等量關係或不等關係即可，總體來說難度不大，如果找不出，直接建系來處理即可。

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