歡迎來到百家號「米粉老師說數學」，初中幾何壓軸題型當中，點的運動路徑問題估計是最後一個專題，初三下學完《圓》章節之後，數學題中就會出現這些題型。點的運動軌跡問題，顧名思義，指的是求動點在自身運動或隨著圖形運動的路程，由於點的運動位置不確定，要刻畫並求出它的運動路徑，是解決這類題型的一大難點，今天，我們就如何確定動點的運動路線特點及求解方法做出交流與探討，與大家一起分享。
總體解題思路
極端情況考慮，抓住點運動的特殊位置，找出運動路線，再依題目條件解題；
解題技巧
抓住動點運動過程中的三個特殊位置點（起始位置、中途任意位置、結束位置），並把這三點連線，確定運動路線，再求出它的長度；
範例精講
例1.點P、Q是正方形ABCD邊AB和BC上的動點，且PQ=AB=8，若點Q從點B出發沿BC邊向點C運動，則點P隨之沿AB下滑，當B到達C點時停止運動，則點Q在B到C的運動過程中，PQ的中點O所經過的路徑長為_____
解析：很明顯，O點在以B為圓心，
BO（即PQ/2=AB/2=4）
為半徑的1/4圓上運動，
路徑長=1/4×2×4Л=2Л
例2.如圖，在扇形AOB中，OA、OB是，且OA=4，∠AOB=120°，點P是弧AB上一動點，連接AP、BP，分別作OC⊥PA於點C，OD⊥PB於點D，連接CD.（1）如圖1，在點P的移動過程中，線段CD的長是否會發生變化，若不發生變化，求出CD的長；若發生變化，請說明理由；（2）如圖2，若點M、N為弧AB的三等分點，點Q為△DOC的外心，當點P從點M運動到點N運動，點Q所經過的路徑長為__________.(直接寫出結果)
解析：（1）如圖3，連接OP，AB，
作OH⊥AB於點H。
∵OA=OB=OP，OC⊥PA，OD⊥PB，
∴C、D是中點，∴CD=AB/2，
AH=BH，∠AOH=60°，
∴CD=AH=2√3，
是定值，不會發生變化。
（2）如圖4，當P與M重合時，取OP的中點Q，
∵∠OCP=∠ODP=90°，
∴QO=QD=QC=OP/2，
∴點Q是△OCD的內心。
由圖5可知，當P從M運動到N點時，
Q的運動軌跡為以O為圓心，OQ為半徑，
圓心角∠QOQ`=40°的圓弧，
∴運動路徑長=40°÷360°×2Л×2=(4/9)Л.
例3. 如圖，正方形ABCD的邊長為4，點E,F分別從點A、D以相同的速度同時出發，點E從點A向點D運動，點F從D 向點C運動，點E運動到D點時，E、F停止運動，連接BE、AF相交於點G，連接CG，有下列結論：①AF⊥BE；②點G隨著點E、F的運動而運動，且點G的運動路徑的長度為Л；③線段DG的最小值為2√5-2；④當線段DG最小時，S△BCG=8+(8/5)√5,其中正確的命題有__________
解析：①先證△ABE≌△DAF（AAS），
可得∠ABE=∠DAF,
∵∠DAF+∠BAG=90°,
∴∠ABE+∠BAG=90°,
即AF⊥BE；
②∵∠AGB保持90°不變，
∴G點在以AB中點O為圓心，AO為半徑的圓弧，
由運動知，點E運動到點D時停止，
同時點F運動到點C,
∴點G的運動路徑是以AB為直徑的圓所在的圓弧所對的圓心角為90°，
∴長度為90Л×2÷180=Л.
③∵OG=AB/2=2,固定長，
∴要求DG最短，即求OG+DG最短，
當O、G、D在同一條直線上時，DG取最小值，
OD=2√5，
∴DG的最小值為OC﹣OG=2√5﹣2，
故③正確；
④過G作BC 垂線與AD相交相交於點M，與BC相交於點N，
∴GM//OA,∴GM:OA=DG:DO,
∴GM=2-0.4√5,∴GN=2+0.4√5,
∴S△BCG=4+0.4√5,
∴故④錯誤；
例4.（1）如圖.已知正三角形ABC的中心O，邊長為2，將其沿直線向右翻滾，當正三角形翻滾一周時，其中心O經過的路徑長是___________（2）如圖.已知正四邊形ABCD的中心O，邊長為2，將其沿直線向右翻滾，當正三角形翻滾一周時，其中心O經過的路徑長是___________
解析：（1）如圖2，O點的運動軌跡是三個半徑為(2/3)√3，
圓心角為120°的扇形，
所以路徑長=3×120÷360×2Л×(2/3)√3
=(4/3)√3Л.
（2）如圖2，O點的運動軌跡是四個半徑為√2 ，
圓心角為90°的扇形，
所以路徑長=4×90÷360×2Л×√2
=2√2Л
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