初三數學:求線段長的最值有點難,原來要這樣判斷動點的運動軌跡

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利用幾何圖形的性質求線段長的最值是數學中考的常考題型，本文就例題詳細解析這類題型的解題方法，希望能給初三學生的數學複習帶來幫助。

例題

如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E為AB的中點，F為EC上一動點，P為DF的中點，連接PB，求PB的最小值。

解題過程：

取DE的中點M，連接MP，並延長交CD於點N，連接BN

根據中位線定理和題目中的條件：點P為DF的中點，點M為DE的中點，則MP∥CE；

根據題目中的條件和結論：F為EC上一動點，MP∥CE，則點P的運動軌跡為線段MN，當PB⊥MN時，PB取到最小值；

根據中位線逆定理和結論：MP∥CE，點M為DE的中點，則DN=CN=CD/2；

根據矩形的性質和題目中的條件：四邊形ABCD為矩形，則AB=CD，AD=BC，∠BCD=∠ABC=90°；

根據題目中的條件和結論：AB=CD，AB=4，CN=CD/2，則CN=2；

根據題目中的條件：E為AB的中點，AB=4，則BE=AB/2=2；

根據題目中的條件和結論：AD=2，AD=BC，則AD=BC=2；

根據等腰直角三角形的判定和結論：∠BCD=∠ABC=90°，CN=BE=BC=2，則△BCN和△BCE為等腰直角三角形；

根據等腰直角三角形的性質和結論：△BCN和△BCE為等腰直角三角形，則∠BCE=∠BNC=45°；

根據結論：∠BCD=90°，∠BCE=45°，則∠DCE=45°；

根據平行線的性質和結論：MP∥CE，則∠DNM=∠DCE=45°;

根據結論：∠BNC=45°，∠DNM=45°，則∠BNM=90°，即BN⊥MN；

所以，當點P與點N重合時，PB取到最小值；

根據勾股定理和結論：∠BCD=90°，CN=2，BC=2，則BN=2√2；

所以，PB的最小值為2√2。

結語

解決本題的關鍵是利用中位線定理確定出動點的運動軌跡，從而得到垂線段最短的結論，再根據矩形性質得到線段、角度間的關係，證明到線段取到最小值時的動點位置，從而求得題目需要的值。